一道復(fù)習(xí)題的變式研究

問題證明:若g(x)=x2+ax+b，則g()≤.

雖然本題的證明比較簡單，但同學(xué)們可以從下面該題的一些變式中看出本題潛在的功能，也希望通過該題的變式研究，起到使同學(xué)們學(xué)會對問題進(jìn)行引申與重視的作用.

一、改變具體的函數(shù)

1. 若把函數(shù)g (x)=x2+ax+b改成函數(shù)f (x)=tanx，則本題就成為1994年理科高考試題.

例1 (1994年理科高考)已知函數(shù)f (x) =tanx，

x∈( 0 ， ），若x1 ， x2∈( 0 ，)，且x1≠x2，

證明:＞ f ().

解析 許多同學(xué)都是這樣錯誤地證明：作出函數(shù)

f (x)=tanx在( 0 ，)

上的圖像（如圖1）.

取A(x1 ，f(x1))，

B(x2，f(x2))，

C(， f())，則顯然線段AB在弧上方，故弦AB中點(diǎn)的高度大于C點(diǎn)縱坐標(biāo)，由此可得＞f().這種證法是錯誤的，而且錯得比較隱蔽，不易被察覺.用直觀圖形來證明不等式成立是一個邏輯循環(huán)，即自己來證明自己.其實(shí)，本題我們可以根據(jù)正切函數(shù)的定義，結(jié)合單位圓來證明.

2. 若把函數(shù)g(x)=x2+ax+b改成函數(shù)f (x)=logax，則本題就成為1994年文科高考試題.

例2 (1994年文科高考)已知函數(shù)f (x)=logax ，

( a＞0且a≠1， x＞0 )，若x1 ，x2＞0 ，判斷與f()的大小，并加以證明.

解析本題比理科試題要簡單，只要依次求出與f()的值，然后再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)即可證明.

二、把結(jié)論變成條件，判斷滿足條件的函數(shù)的個數(shù)

例3 （第15屆希望杯#8226;高二）下列四個函數(shù)：

①f (x)=x2-2x；②f (x)=sinx，0≤x≤2π；

③f (x)=2x+x ；④f (x)=log2(2x-1)， x＞ .其中，能使f()≤［f(x1)+ f(x2)］恒成立的函數(shù)的個數(shù)是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 本題需分別比較四個函數(shù)中與f()的大小，滿足不等式f()≤

f(x1)+ f(x2)的函數(shù)就是要計(jì)數(shù)的函數(shù).當(dāng)然，若了解f()≤［f(x1)+ f(x2)］的本質(zhì)，則我們也可從函數(shù)圖像上直觀判斷（此題四個函數(shù)中①、③滿足要求故選B）.

三、把結(jié)論變成條件，形成信息題

把結(jié)論＜(或＞)f()變成條件，給出凸函數(shù)的概念(或性質(zhì))，以此為信息出考題.

例4任取x1 ， x2∈［a ，b］且x1≠x2，若

f()＞，稱f (x)是a ， b上的凸函數(shù)，則下列圖像中，屬于凸函數(shù)的圖像是( )

解析本題把題目中的結(jié)論作為條件給出，提出一個中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中沒有的新概念——凸函數(shù).這是一道定義新概念的信息題，主要考查學(xué)生獲取、分析和處理信息的能力.本題在理解凸函數(shù)的定義后便可直接解答.在函數(shù)圖像上任取兩點(diǎn)A(x1 ，f(x1))， B(x2 ，f(x2))，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，).由凸函數(shù)的意義可知，當(dāng)點(diǎn)

P(， f())總在點(diǎn)C的上方時，該圖像即為凸函數(shù)的圖像，故選D.

四、把變量x1，x2推廣到有限個變量x1，x2，… ，xn

例5 已知凸函數(shù)的性質(zhì)定理:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對于區(qū)間內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，有

［f(x1)+ f(x2) +…+ f(xn)］≤f().若函數(shù)y=sinx在區(qū)間( 0 ， π )上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為( )

A. B. C.D.

解析 本題對變量的個數(shù)進(jìn)行了推廣，同時給出了凸函數(shù)的性質(zhì)定理這一中學(xué)數(shù)學(xué)里沒有的新性質(zhì)，同樣屬于定義型創(chuàng)新題，主要考查學(xué)生獲取、分析和處理信息的能力以及運(yùn)用新概念(性質(zhì))解決數(shù)學(xué)問題的能力.在理解了凸函數(shù)的性質(zhì)定理后， 本題是易解的.因?yàn)橛赏购瘮?shù)的性質(zhì)定理可得sinA+sinB+sinC

≤3sin=， 所以選C.

五、把數(shù)值轉(zhuǎn)化為一般情況

例6 (2002年北京高考)如圖所示，fi(x)(i=1， 2， 3， 4)是定義在 0 ， 1上的四個函數(shù)， 其中滿足性質(zhì):“對［０ ， １］中任意的x1和x2 ， 任意λ∈［０ ， １］，

f［λx1+(1-λ)x2］≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)恒成立”的只有( )

A.f1 (x) 和f3 (x) B.f2 (x)

C.f2 (x)和 f3 (x) D.f4 (x)

解析 本題實(shí)質(zhì)是一個凸函數(shù)問題.我們可以用特殊值法解該題，因?yàn)閷θ我猞恕剩郏埃保?，f［λx1+(1-λ)x2］≤λf (x1)+(1-λ) f (x2)恒成立. 即可令λ= ， 則不等式變?yōu)閒()≤，所以選A.

以上我們對一道復(fù)習(xí)參考題從五個角度的變式進(jìn)行了研究，不僅解決了與凸函數(shù)有關(guān)的一類問題，而且還訓(xùn)練了近幾年高考頻繁出現(xiàn)的信息題問題，可謂一舉兩得.同時，也發(fā)散了同學(xué)們的思維，提高了同學(xué)們解題的能力.

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。