詳解六類高考圖表信息題

從近幾年高考來看，函數(shù)的圖像以及數(shù)形結(jié)合的思想一直是高考的熱點之一.此外，有一種新題型——圖表信息題應(yīng)引起足夠的重視，它們與我們熟悉的基本函數(shù)圖像有較大的差異.解決這類圖表信息題，我們要充分挖掘其本質(zhì)內(nèi)涵，理清關(guān)系，并熟悉它涉及知識概念，掌握解決此類題的有效方法，這樣做起題來才會得心應(yīng)手，游刃有余.

一、圖表信息在函數(shù)中的應(yīng)用

例1如下圖所示，向高為H的水瓶A，B，C，D同時以等速注水，注滿為止.

（1）若水深與注水時間的函數(shù)圖像是下圖中的a，則水瓶的形狀是；

（2）若水量與水深的函數(shù)圖像是下圖中的b，則水瓶的形狀是；

（3）若水深與注水時間的函數(shù)圖像是下圖中的c，則水瓶的形狀是；

（4）若注水時間與水深的函數(shù)圖像是下圖中的d，則水瓶的形狀是.

解析a圖反映出隨著時間推移，水深勻速上升，故水瓶形狀應(yīng)為柱體；b圖反映出隨著深度的變化，體積的變化由慢到快，故水瓶的下底小上底大，即A瓶；c圖反映出隨著時間推移，水深的變化由快到慢再到快，符合條件的為D瓶；d圖反映出相對同樣水深的變化，前面費時多于后面，故水瓶的下底大上底小，B瓶符合條件.

點評本題選取對象是實物形狀，解決問題既不需要建立具體的函數(shù)關(guān)系，也不需要進(jìn)行計算，而是靠觀察，靠直覺，考查考生的發(fā)散思維能力與智慧靈感，突出了對考生觀察、思維和分析能力的考查，打破以往高考試題的常規(guī)思維模式，在構(gòu)思和立意上具有創(chuàng)新性.

例2 《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額此項稅款按下表分段累進(jìn)計算：

某人一月份應(yīng)交納此項稅款26.78元，則他的當(dāng)月工資、薪金所得介于()

A. 800~900元B. 900~1200元

C. 1200~1500元D. 1500~2800元

解析設(shè)收入為x元，稅款為y元，則

y=0，x∈[0，800]（x-800）×5％，x∈[800，1300]25+（x-1300）×10％，x∈[1300，2800]175+（x-2800）×15％，x∈[2800，5800]

由題意可知y=26.78，所以y=1300+（26.78-25）÷10％=1317.8.

正確選項為C.

點評本題通過圖表的形式來表示函數(shù)關(guān)系，本質(zhì)是考查求分段函數(shù)，要求考生學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識，并能解決此類問題.

二、圖表信息在數(shù)列中的應(yīng)用

例3 一給定函數(shù)y=f（x）的圖像在下列圖中，并且對任意a1∈（0，1），由關(guān)系式得到an+1=f（an）的數(shù)列an滿足an+1＞an（n∈N *），則該函數(shù)的圖像是（）

解析據(jù)題意，由關(guān)系式an+1=f（an）得到的數(shù)列an滿足an+1＞an，即該函數(shù)y=f（x）圖像上任一點（x，y）都滿足y＞x.由圖像可知，只有選項A滿足.

點評本題是通過觀察圖像并結(jié)合題意，聯(lián)系涉及數(shù)學(xué)知識很容易得出選A.

例4根據(jù)下列4個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜測n第個圖中有個點.

解析觀察圖形，從第2個圖形開始，由中心點向外連線，有n條射線，每條射線中有n-1個點（端點除外），猜測第個圖中的點有1+n（n-1）=n2-n+1個.

點評 本題重點考查考生通過觀察圖形，探索和發(fā)現(xiàn)圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系，并能歸納出此類問題的規(guī)律性.

例5在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表. 觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi).

解析觀察圖表可知：第一行中各數(shù)成等差數(shù)列；第二行中相鄰兩數(shù)的差是以3，2間隔出現(xiàn).由此可知答案分別為140、85.

點評本題考查考生閱讀圖表的能力和估算的能力.

例6下表給出一個“等差數(shù)陣”：

其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù).

（I）寫出a45的值；

（II）寫出aij的計算公式；

（III）證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積.

解析 （I）a45=49.

（II）該等差數(shù)陣的第一行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列，可得a1j=4+3（ j-1）；

第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列，可得a2j=7+5( j-1)；

……

第i行是首項為4+3(i-1)，公差為3+2（i-1)的等差數(shù)列，因此有：

aij=4+3（i-1）+（2i+1）（j-1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j.

（III）必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i、 j使得N=i（2i+1）+j，從而2N+1=2i（2j+1）+（2i+1），即正整數(shù)2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積.

充分性：若2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k、l，使得2N+1=（2k+1）(2l+1)，從而N=k（2l+1）+l= akl，可見N在該等差數(shù)陣中.

綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個不是1的正整數(shù)之積.

點評本題主要借助圖表來考查等差數(shù)列、充要條件等基本知識，考查考生的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.

三、圖表信息在排列組合二項式定理中的應(yīng)用

例7如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù)字作答）

解析先栽種中心1有4種栽種法，因為相鄰的區(qū)域不同色，其他區(qū)域又都與1相鄰，以后可化為3種顏色花栽種四個區(qū)域，分2與4同色、不同色兩類，得4×（3×2×2+3×2×1×1）=72.

點評本題要求運用兩個原理時要注意是先分類，后分步；還是先分步，后分類應(yīng)視具體問題而定，為了使問題的簡化，經(jīng)常將具體問題數(shù)字化和排序分明.

四、圖表信息在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例8 在某海濱城市附近海面有一臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南?茲（?茲=arccos ）方向300km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移動，臺風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲？

解析如圖建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點，正東方向為x軸正向.

在t時刻：（1）臺風(fēng)中心P（x，y）的坐標(biāo)為

此時臺風(fēng)侵襲的區(qū)域是（x-x）2+（y-y）2?燮[r（t）]2，其中r（t）=10t+60，若在t時刻城市O受到臺風(fēng)的侵襲，則有（0-x）2+（0-y）2?燮（10t+60）2，

答：12小時后該城市開始受到臺風(fēng)的侵襲.

點評三角函數(shù)有著廣泛的應(yīng)用，本題就是一個典型的范例.通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號語言，再將其轉(zhuǎn)化為我們熟知的曲線和函數(shù).三角函數(shù)的應(yīng)用性問題是歷年高考命題的一個冷點，但在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起足夠的關(guān)注.

五、圖表信息在立體幾何中的應(yīng)用

例9 （I）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1、圖2），要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡要說明；

（II）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大??；

（III）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等.請設(shè)計一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡要說明.

解析 （I）如圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐．如圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的 ，有一組對角為直角，余下部分按虛線折起，可成一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱錐的上底．

（II）依上面剪拼方法，有V柱＞V錐．推理：設(shè)給出正三角形紙片的邊長為2，那么，正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長為1的正三角形，其面積為 ．現(xiàn)在計算它們的高：h錐= = ，h柱= tg30°= ．V柱-V錐= （h柱- h錐）=（ - ）× = ＞0，所以V柱＞V錐．

（III）如圖3，分別連結(jié)三角形的內(nèi)心與各頂點，得三條線段，再以這三條線段的中點為頂點作三角形．以新作的三角形為直棱柱的底面，過新三角形的三個頂點向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成為一個缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．

點評本題屬開放性試題，所需知識不多，但要求考生觀察、思考、探索與動手操作（設(shè)計具體過程）；重點考查考生的創(chuàng)新能力和實踐能力，同時要求考生具有良好的語言表達(dá)能力.

六、圖表信息在概率與統(tǒng)計中的應(yīng)用

例10某地2004年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下：

若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況，則根據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢一定是()

A. 計算機行業(yè)好于化工行業(yè)

B. 建筑行業(yè)好于物流行業(yè)

C. 機械行業(yè)最緊張

D. 營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張

解析根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可推知機械行業(yè)的應(yīng)聘人數(shù)少于貿(mào)易的65280人，與招聘人數(shù)89115之比小于1，也可以這樣理解：凡來應(yīng)聘的都有工作，而物流行業(yè)，招聘人數(shù)少于化工的70436人，應(yīng)聘人數(shù)74570與招聘人數(shù)之比大于1，即來應(yīng)聘的人肯定有人沒有工作，故可斷定“建筑行業(yè)好于物流行業(yè)”，故選B.

點評本題選材于社會熱點問題，背景鮮活真實，考查考生閱讀圖表后獲取有用數(shù)據(jù)的能力.只要我們平時多加訓(xùn)練，給予足夠的重視，解決好這類問題是不難的.

例11一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如右圖）為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，則在（2500，3000）（元）月收入段應(yīng)抽出人.

解析由直方圖可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人，按分層抽樣應(yīng)抽出2500× =25人.

點評 本題考查考生通過閱讀圖表等統(tǒng)計資料，提取有關(guān)信息并解決相關(guān)問題，特別是要學(xué)會在生活中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué).

責(zé)任編校 賴慶安

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”