探究２００７年中考數(shù)學(xué)猜想問題

著名物理學(xué)家牛頓說過：“沒有大膽而放肆的猜想，就不可能有偉大發(fā)現(xiàn).”這句至理名言道出了猜想的重要性.綜觀近幾年中考命題，命題者在猜想方面進(jìn)行了有益而大膽的探索改革，為推動素質(zhì)教育，培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新能力起到良好導(dǎo)向作用.

1.數(shù)與式規(guī)律問題的探究

通過對一列有序數(shù)、式的特點(diǎn)與結(jié)構(gòu)的分析與研究，找出共性規(guī)律，進(jìn)而歸納猜想出隱含的一般規(guī)律，然后再探索出問題的答案.這種思維策略體現(xiàn)了從特殊到一般，再到特殊的思想方法，能夠有效檢測同學(xué)們的觀察、分析、推理、猜想能力.

例1（2007年陜西省考題）小說《達(dá)芬奇密碼》中出現(xiàn)了一串神秘排列的數(shù)，將這串令人費(fèi)解的數(shù)按從小到大的順序排列為：1，1，2，3，5，8，…，則這列數(shù)的第8個(gè)數(shù)是．

分析：欲求第8個(gè)數(shù)，首先必須揭開這串?dāng)?shù)的排列規(guī)律.觀察數(shù)的大小，我們可以發(fā)現(xiàn)從第3個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面相鄰的兩個(gè)數(shù)的和，因此第8個(gè)數(shù)應(yīng)等于第6個(gè)數(shù)（8）與第7個(gè)數(shù)（13）之和即8+13=21.事實(shí)上這列數(shù)就是我們常說的著名的“斐菠那挈數(shù)列”.

例2（2007年河池市考題）古希臘數(shù)學(xué)家把1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第100個(gè)三角形數(shù)與第98個(gè)三角形數(shù)的差為 ．

分析：先觀察分析第2個(gè)數(shù)與第1個(gè)數(shù)的差，發(fā)現(xiàn)是2，接著探索第3個(gè)數(shù)與第2個(gè)數(shù)的差，發(fā)現(xiàn)是3，這樣我們又得出第4個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)的差是4，由此我們不難發(fā)現(xiàn)第n個(gè)數(shù)與第n-1個(gè)數(shù)的差為n，從而得到結(jié)論：第100個(gè)三角形數(shù)與第98個(gè)三角形數(shù)的差為100+99=199.

2.從對圖表的探究過程中發(fā)現(xiàn)、歸納、猜想規(guī)律

解決圖形規(guī)律問題應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的指導(dǎo)思想，從分析圖形結(jié)構(gòu)入手，從簡單到復(fù)雜進(jìn)行歸納猜想從而獲得隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，并用代數(shù)式描述出來，進(jìn)而解決相關(guān)的問題.

例3（2007年隴南市考題）如圖1，用灰白兩色正方形瓷磚鋪地，第6個(gè)圖案中灰色瓷磚塊數(shù)為_______．

分析：方法（1），從橫的角度觀察，每個(gè)圖案中灰色瓷磚都是2行，第1個(gè)圖案中每行中有2個(gè)灰色瓷磚，共有2×2塊灰色瓷磚；第2個(gè)圖案中每行中有3個(gè)灰色瓷磚，共有2×3=2×（2+1）塊灰色瓷磚；第3個(gè)圖案中每行中有4個(gè)灰色瓷磚，共有2×4=2×（3+1）塊灰色瓷磚；…由此可推出第n個(gè)圖案中每行中有n+1個(gè)灰色瓷磚，共有2×（n+1）=2n+2塊灰色瓷磚.故第6個(gè)圖案中灰色瓷磚塊數(shù)為2×6+2=14塊.

方法（2），從縱的角度觀察，每個(gè)圖案中每列都有2個(gè)灰色瓷磚，第1個(gè)圖案中有2列灰色瓷磚，共有2×2塊灰色瓷磚；第2個(gè)圖案中有3列灰色瓷磚，共有2×3=2×（2+1）塊灰色瓷磚；第3個(gè)圖案中有4列灰色瓷磚，共有2×4=2×（3+1）塊灰色瓷磚；…由此可推出第n個(gè)圖案中有n+1列灰色瓷磚，共有2×（n+1）=2n+2塊灰色瓷磚.故第6個(gè)圖案中灰色瓷磚塊數(shù)為2×6+2=14塊.

例4（2007年安徽省考題）探索n×n的正方形釘子板（n是釘子板每邊上的釘子數(shù)），相鄰釘子間距離為1連接任意兩個(gè)釘子所得到的不同長度值的線段種數(shù)：

（3）對n×n的釘子板，寫出用n表示S的代數(shù)式．

分析：n=2，3，4，5，是引領(lǐng)同學(xué)們從簡單到復(fù)雜進(jìn)行探究歸納的過程，數(shù)一數(shù)每種情況下得到不同長度值的線段種數(shù)就是在積累實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，為探索、猜想規(guī)律提供依據(jù).通過探索我們不難得到表格中的數(shù)據(jù).

解：（1）4，2+3+4+5（或14）；

（2）①n×n的釘子板比（n-1）（n-1）的釘子板中不同長度值的線段種數(shù)增加了n種；②分別用a、b表示 n×n與（n-1）（n-1）的釘子板中不同長度值的線段種數(shù)，則a=b+n；

（3）S=2+3+…+n．

例5（2007年河北省課改實(shí)驗(yàn)區(qū)考題）觀察下面的圖形（每個(gè)正方形的邊長為1）和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律.

（1）寫出第五個(gè)等式，并在5個(gè)正方形上畫出與之對應(yīng)的圖示；

（2）猜想并寫出與n個(gè)圖形相對應(yīng)的等式.

分析：（1）本題創(chuàng)設(shè)了一個(gè)觀察幾何圖形面積的情境，用來探究、驗(yàn)證相應(yīng)的代數(shù)恒等式成立，同時(shí)也給同學(xué)們提供一個(gè)“從簡單情形入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的科學(xué)探究的思維方法.

本題的數(shù)學(xué)內(nèi)涵是“陰影部分的面積既可直接求解，也可間接求解——用整體圖形的面積減去空白部分的面積”.根據(jù)兩種方法得到的面積相等容易知道①②③④具有的數(shù)學(xué)規(guī)律成立.觀察數(shù)學(xué)表達(dá)式①②③④和相應(yīng)的圖形容易發(fā)現(xiàn)，第五個(gè)等式與之對應(yīng)的圖示為：

從上述解題過程中不難看出，猜想是一種高層次的思維活動，是數(shù)學(xué)探索發(fā)現(xiàn)過程中的一種創(chuàng)造性思維，這類問題既能考查同學(xué)們對數(shù)學(xué)知識的掌握程度，培養(yǎng)收集、處理信息的能力，同時(shí)又能促進(jìn)同學(xué)們養(yǎng)成科學(xué)探究的思維方式，為發(fā)展同學(xué)們的創(chuàng)新思維奠定了基礎(chǔ).隨著新課程的實(shí)施，相信今后中考試題中“數(shù)學(xué)猜想”問題必將出現(xiàn)一個(gè)百花齊放的新局面.

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