“和”等于“積”

數學活動課上，蔣老師要同學們先來口算下面每組數中兩個數的和與積。

1/3 和1/5 6和1.2 1/2和2/3 3和1.5

大家計算后發現，有兩組數比較有趣，它們的和與積相等。

蔣老師說：“今天我們就來研究這種有趣的現象——和等于積。”

蔣老師問同學們在平時的計算中有沒有碰到過這種有趣的現象，同學們都說碰到過，像0與0、2與2，它們的和等于積。

蔣老師說：“現在請大家來看看4和，它們的和與積怎么樣？”

大家計算后告訴老師：和等于積。

接著，蔣老師又出示了和等于積的另外三組數，讓同學們仔細研究，看看能不能從中發現什么規律。這三組數分別是：6和1.2 ，3和1.5 ，4和4/3。

張華同學先將上面的小數都化成分數，得到：6和6/5，3和3/2，4和4/3。通過觀察，他得出這樣的猜想：一個分子比分母大1的分數與等于這個分數的分子的整數，它們的和與積相等。舉例驗證：7和7/6，7＋7/6＝6/49，7x7/6＝49/6

蔣老師首先肯定了張華同學的猜想，接著又出示了兩組數：和，和。

同學們發現這每一組兩個數的和也等于它們的積，但這又不符合張華同學的猜想。看來和等于積的規律還不止這一條。

這時，蔣帥同學在張華的基礎上做了這樣的嘗試，他把上面三組數里面的整數和小數都化成假分數，得到：和，和 ，和。由此他得出了新的猜想：分子相同、分母之和等于分子的兩個分數，它們的和等于積。舉例驗證：和，＋＝，祝健?

后來，愛動腦筋的張寧又有了更新的發現：如果將和與積相等的兩個數分別取他們的倒數后再相加，其和是1。所以張寧的猜想是：如果兩個數的倒數之和等于1，那么這兩個數的和與這兩個數的積相等。舉例驗證：因為+ =1，所以與 的和等于它們的積。

蔣老師引導同學們對以上三種猜想進行了比較，大家發現張寧同學的猜想就是和等于積的兩個數的一般規律。最后，蔣老師指出：在數學學習中，“發現和提出問題”是發現規律的基礎條件，“觀察和建立猜想”是發現規律的關鍵所在，“驗證和形成結論”是發現規律的重要保證。并且要求大家完成下面的一個小課題研究。

1.算一算：求下面每組數的差與積。

和 和 和

2.猜一猜：“差等于積”的兩個分數，分子和分母可能會有什么特點？

3.驗證：舉出符合這樣特點的兩個分數，看看是否“差等于積”？

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。