中考規律探索題中的新類型

規律探索題主要考查學生的觀察、聯想、實驗、推理和總結應用能力.2007年中考試題中的規律探索題對學生觀察角度要求比較高，有些規律需要從多個角度進行聯想，需要作進一步的分析驗證才能找到規律；有些是與其他幾何知識結合，具有一定的數學思想，規律探索題在題型、結構設計上與往年相比有較大的創新，思考視野更開闊，知識交叉應用層面也更具有思想性.以下幾例是2007年部分地市有關規律的中考題，本人作了分析，供大家參考.

⒈探求圖表填數規律

例1：（2007年廣西壯族自治區）填在下面3個田字格內的數有相同的規律，根據此規律，C =．

分析：本題表格內數的分布規律是：左上、右上、左下3格數構成奇數順序排列，右下格內的數等于上行格內數之和與左下格內數的積，這里求C與求A、B是兩個不同的思考角度，對部分學生是一個考驗.可得A=7，B=9，C=108.

例2：（2007年內蒙古自治區鄂爾多斯市）觀察表1，尋找規律．表2是從表1中截取的一部分，其中a，b，c的值分別為（）.

A．20，25，24B．25，20，24

C．18，25，24D．20，30，25

分析：從表1可看出格內數的規律：格內數等于行標乘以列標.表2格中數16、20可看作為4×4、4×5，即這二數分別是第四列中的第四行和第五行數；表2中30看作第五列第六行數，本題關鍵是分解16、20、30時行數、列數能對上號；可得a=5×4=20，b=5×5=25，c=4×6=24.

2.探求數字排列規律

例3：（2007年山東省濟南市）世界上著名的萊布尼茨三角形如圖所示，則排在第10行從左邊數第3個位置上的數是（）.

本題的規律要從呈三角形的數之間的和差關系中找，很多學生可能會出現一下子不適應.

3.利用構造探求規律

分析：對問（1）：思維角度1：用高斯方法求1＋2＋3＋4＋……＋n的和，考慮n的奇偶性，需要用分類方法討論.這對部分學生來說有難度，同時讓學生感覺解題方法枯燥無味；思維角度2：采用題目引導的用數形結合的方法，構造平行四邊形方法求和，這是比較直觀，容易理解，同時具有趣味性的好方法.如圖2構造平行四邊形，因為組成此平行四邊形的小圓圈共有n 行，每行有（n＋1）個，所以組成此平行四邊形的小圓圈共有n（n+1）個．要算 4.探求圖形變換規律

例5：（2007年江蘇省連云港市）如圖5-1，在6×6的方格紙中，給出如下3種變換：P變換，Q變換，R變換．將圖形F沿x軸向右平移1格得圖形F1，稱為作1次P變換；將圖形F沿y軸翻折得圖形F2，稱為作1次Q變換；將圖形F繞坐標原點順時針旋轉90°得圖形F3，稱為作1次R變換．規定：PQ變換表示先作1次Q變換，再作1次P變換；QP變換表示先作1次P變換，再依1次Q變換；Rn變換表示作n次R變換．解答下列問題：

（1）作R4變換相當于至少作次Q變換；

（2）請在圖5-2中畫出圖形F，作R2007變換后得到的圖形F4；

（3）PQ變換與QP變換是否是相同的變換？請在圖5-3中畫出PQ變換后得到的圖形F5，在圖5-4中畫出QP變換后得到的圖形F6．

分析：本題新定義的3種變換，需要探索每種變換的圖像位置變化規律、組合變換的圖像位置區別，要從多個層面去思考；各種變換特點：Q變換規律是偶次變換圖形之間重合，奇次變換圖形之間也互相重合；R變換，每4次變換重復1次，PQ變換與QP變換，由于其變換先后順序不同，因此變換后的圖形位置有區別.

簡解：（1）2次；（2）從旋轉角度考慮圖形的位置，2007×90°=501×360°＋270°，如圖5-2變換圖即是圖形F作R2007變換后得到的圖形F4；

（3）如圖5-3變換圖即是PQ變換后得到的圖形F5；如圖5-4變換圖即是QP變換后得到的圖形F6.

5.探求縮放旋轉規律

例6：（2007年四川省樂山市）如圖6，在直角坐標系中，已知點P0的坐標為(1，0)，將線段OP0按逆時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1；又將線段OP1按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2；如此下去，得到線段OP3，OP4，……，OPn（n為正整數）.

（1）求點P6的坐標；

（2）求△P5 O P6的面積；

（3）我們規定：把點Pn（xn，yn）（n=1，2，3，……）的橫坐標xn、縱坐標yn都取絕對值后得到的新坐標

（|xn|，|yn|） 稱之為點Pn的“絕對坐標”．根據圖中點Pn的分布規律，請你猜想點Pn的“絕對坐標”，并寫出來．

分析：本題具有“旋轉、相似”結合的數學思想，只要抓住在旋轉過程點Pn位置及OPn的長度即可.從點P0到點Pn旋轉角度是45°n，OPn的長度為2n；對問（2）：可根據點坐標求面積，也可以根據相似三角形求面積.對問（3）：根據圖形可觀察到點分布在坐標上和象限的角平分線上，只要算出OPn的長度即可.

略解：（1）根據旋轉規律，點P6落在y軸的負半軸，而點Pn到坐標原點的距離始終等于前一個點到原點距離的2倍，故其坐標為P6（0，26），即P6（0，64）．

③當n=8k+2或n=8k+6時（其中k為自然數），點Pn落在y軸上，此時，點Pn的絕對坐標為（0，2n）．

應對規律探索題的最佳策略是培養學生的觀察、分析能力，平時教學中對這類題型能加以思維訓練，主要以開拓分析視野為主，能根據題目信息展開思維聯想，尋找解題切入口，對多層面題型能作適當推理、驗證、歸納總結，以提高學生的綜合探索能力，解決有關的探索問題.

（作者單位：浙江省象山縣東陳中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。