因式分解中的新題型

因式分解是初中數學中重要的恒等變形，是中考命題的熱點.近年來，有些省、市中考中的因式分解題，已不再是單純的分解因式，而是作了新的嘗試，出現了許多令人耳目一新的好題.現舉例說明.

一、開放創新題

例1（2006年濟南市中考試題）請你從下列各式中任選兩式作差，并將得到的式子進行因式分解：4a2，（x+y）2，1，9b2.

解析：本題是一道結論開放題，共有12種不同的作差結果，例如：4a2-1；9b2-1；(x+y)2-1；4a2-9b2；(x+y)2-4a2；(x+y)2-9b2；交換位置后仍可分解.任取兩例可分解為：（1）4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b)；(2)1-(x+y)2=[1+(x+y)][1-(x

+y)]=(1+x+y)(1-x-y).

二、分解求值題

例2（2006年山東省棗莊市中考試題）已知x+y=2，那么x2+xy+y2的值為.

解析：觀察發現x、y的值不可能求出，需先分解因式，再整體代入求值.因為x2+xy+y2=(x2+2xy+y2)=(x+y)2，所以當x+y=2時，原式=×22=2，故填2.

例3（2006年四川省內江市中考試題）若a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+bc

+ac，則a+b2+c2= .

解析：由a2+b2+c2=ab+bc+ac，有2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，即(a-b)2+(b-c)2

+(c-a)2=0，由非負數的性質有：a-b=0，b-c=0，c-a=0，即a=b=c.

代入a+2b+3c=12，得a=b=c=2.

所以a+b2+c2=2+22+22=10.

三、數形結合題

例4（2006年湖北省天門市中考試題）如圖1所示，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，小明將圖1的陰影部分換成了一個矩形，如圖2所示，這一過程可以驗證公式（）.

A.a2+b2-2ab=(a-b)2 B.a2+b2+2ab=(a+b)2

C.2a2-3ab+b2=(2a-b)(a-b)D.a2-b2=(a+b)(a-b)

解析：看懂題意，觀察圖中的數量關系，利用兩個圖形中陰影部分的面積相等關系寫出公式.由于第一個圖中陰影部分的面積為a2-b2，第二個圖中的陰影部分的面積為(a+b)(a-b)，因此驗證了因式分解中的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，故選D.

四、閱讀理解題

例5（2005年浙江省中考試題）在日常生活中，取款、上網等都需要密碼.有一種用因式分解法產生的密碼，方便記憶，它的原理是：如對于多項式x4-y4，因式分解的結果是(x-y)(x+y)(x2+y2)；若取x=9，y=9，則各個因式的值是：x

-y=0，x+y=18，x2+y2=162.于是就可以把“018162”作為一個六位數的密碼.對于多項式4x3-xy2，取x=10，y=10時，用上述方法產生的密碼是： （寫出一個即可）.

解析：因為4x3-xy2=x(2x+y)(2x-y)，所以當x=10，y=10時，2x+y=30，2x-y

=10.根據乘法交換律，x，2x+y，2x-y及其值可以任意交換位置，故可填101030或103010或301010中的一個.

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