列方程（組）中設未知數的方法與技巧

列方程（組）解決實際問題一直是中考命題的熱點之一，而列方程（組）的關鍵步驟之一是設好未知數，那么解決中考中方程（組）問題設未知數有哪些方法與技巧呢？

一、設直接未知數

即求什么設什么，這是最常用的設未知數的方法.

例1（2007年甘肅省白銀市中考試題）某同學在A、B兩家超市發現他看中的英語學習機的單價相同，書包單價也相同，英語學習機和書包單價之和是452元，且英語學習機的單價比書包單價的4倍少8元．

（1）求該同學看中的英語學習機和書包單價各是多少元？

（2）該同學上街，恰好趕上商家促銷，超市A所有商品打7.5折；超市B全場購物滿100元返購物券30元（不足100元不返券，購物券全場通用），但他只帶了400元錢，如果他只在一家超市購買看中的英語學習機、書包，那么在哪一家購買更省錢？

分析：（1）由“英語學習機和書包單價之和是452元，且英語學習機的單價比書包單價的4倍少8元”可以列方程組求出英語學習機和書包單價；（2）分別計算在Ａ、Ｂ兩個超市購買英語學習機與書包各一件所需花費的現金并與400元比較，再比較在Ａ、Ｂ兩個超市購買英語學習機與書包各一件所需花費的現金，來確定在哪家超市購買更省錢.

解：（1）設書包的單價為x元，英語學習機的單價為y元．

根據題意，得x＋y=４５２，y=４x－８.解得x=92，y=360.

答：該同學看中的英語學習機單價為360元，書包單價為92元．

（2） 在超市A購買英語學習機與書包各一件，需花費現金：452×75%=339（元），因為339＜400，所以可以選擇在超市A購買.在超市B可先花費現金360元購買英語學習機，再利用得到的90元購物券，加上2元現金購買書包，總計共花費現金：360+2=362（元）；因為362＜400，所以也可以選擇在超市B購買．但是，由于362＞339，所以在超市A購買英語學習機與書包更省錢．

點悟：設直接未知數的方法應該是我們思考問題時的首選，當設直接未知數思考感到困難時，再考慮下文中設未知數的方法與技巧.

二、設間接未知數

即所設的未知數不是所求的未知量，但可以較為方便地求出所求的未知量.

例2（2007年山東省臨沂市中考試題）“種糧補貼”惠農政策的出臺，大大激發了農民的種糧積極性，某糧食生產專業戶去年計劃生產小麥和玉米共18噸，實際生產了20噸，其中小麥超產12％，玉米超產10％，該專業戶去年實際生產小麥、玉米各多少噸？

分析：問題要求專業戶去年實際生產小麥、玉米各多少噸，而已知的是小麥、玉米超產的百分率，設直接未知數求解比較困難，而設間接未知數——原計劃生產小麥和玉米的噸數比較簡便.

解：設原計劃生產小麥ｘ噸，生產玉米ｙ噸，根據題意得：

x＋y=18，12％x+10%y=20－1８.解得x=10，y=8.

10×（1+12％）＝11.2（噸），8×（1+10％）＝8.8（噸）.

答：該專業戶去年實際生產小麥11.2噸，玉米8.8噸.

點悟：當設直接未知數求解比較困難時，可考慮設間接未知數來解題.同學們可以用設直接未知數的方法來解決本題，再比較一下，從中體會設間接未知數的妙用.

三、設輔助未知數

當題目中缺少某些量時，可以增設一些量為輔助未知數（視為已知量），參與列方程，已知量多了，列方程（組）就方便了.

例3（2007年四川省資陽市中考試題）陳老師為學校購買運動會的獎品后，回學校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種書，共105本，單價分別為8元和12元，買書前我領了1500元，現在還余418元. ”王老師算了一下，說：“你肯定搞錯了.”

（1）王老師為什么說他搞錯了？試用方程的知識給予解釋.

（2）陳老師連忙拿出購物發票，發現的確弄錯了，因為他還買了一個筆記本. 但筆記本的單價已模糊不清，只能辨認出應為小于10元的整數，筆記本的單價可能為多少元？

分析：（1）用方程的知識求出書的本數即可判斷；（2）設出輔助未知數——筆記本的單價，列出含字母系數方程，利用整除的有關知識求解.

解：（1）設單價為8元的課外書為x本，得：8x+12（105-x）=1500-418.解之得：x=44.5(不符合題意) . 所以王老師肯定搞錯了.

（2）設單價為8元的課外書為y本， 設筆記本的單價為a元，依題意得：8y+12（105-y）=1500-418-a.解之得：178+a=4y. 因為a、y都是整數，且178+a應被4整除， 所以a為偶數，又因為a為小于10元的整數， 所以a可能為2，4，6，8 .

當a=2時，4y=180，y=45，符合題意；

當a=4時，4y=182，y=45.5，不符合題意；

當a=6時，4y=184，y=46，符合題意；

當a=8時，4y=186，y=46.5，不符合題意 .

所以筆記本的單價可能為2元或6元 .

點悟：本題中似乎缺少一些量，引進輔助未知數以后，“已知”條件增加了，列方程就方便多了，再利用題目中的特殊要求——問題的解是正整數，就可以解決問題了.