初中數學教學中常見的轉化途徑

數學中的繁、難、生問題，我們總希望它能轉化為簡、易、熟問題，這也是數學課堂教學中的一種追求。在教學中，要善于捕捉事物之間的聯系，促成它們之間的轉化，下面就談談幾種常見的轉化途徑。

一、 新舊轉化

人們在解決新問題時，需要尋找什么樣的方法，總是和已有的知識經驗分不開的，這在教學心理學中叫做遷移。在數學教學中，許多知識和經驗總是密切聯系的，如果能利用已經學過的知識和技能來掌握未學的新知識，用舊知識來解決新問題，學生就會感到所學的新知識并不難，只不過是他們所學舊知識的一種“變形”罷了。

二、 數形轉化

例2. 已知方程x2＋(2m＋6)x＋2m＋4＝0有兩個實數根，且兩根都小于3，求m的取值范圍。

解析：∵△＝(2m＋6)2－4(2m＋4)

＝4(m＋2)2＋4＞0

∴只考慮兩根都小于3，即可設y＝x2＋(2m＋6)x＋2m＋4，則此拋物線開口向上，且與x軸有兩個交點，因而根都小于3，大致如圖所示，故當x＝3時，y＞0。

即9＋3(2m＋6)＋2m＋4＞0

數無形，不直觀；形無數，難入微。在數學教學中，要重視數形的有機結合，可促使問題自然轉化。

三、 逆向轉化

數學中的定義、定律、公式、法則、性質等知識，其逆向應用往往被忽視，而正是一些正向思維難以解決的問題，通過逆向思維及逆向應用，往往能獲得簡捷的求解效果。

例3. 計算：－0.1252000×82001

解析：直接運算顯然繁難，但觀察題目特點，若對公式(ab)n＝anbn(n為正整數)進行逆向應用，則可得到下面的簡解。

原式＝－0.1252000×82000×8

＝－(0.125×8)2000×8

＝－1×8＝－8

四、 等量轉化

例4. 如圖，已知CD是△ABC的內角平分線，CF是外角平分線，DE‖BC，DE交外角平分線于F，求證：EF＝DE

分析：用等腰三角形或全等三角形證明較困難或不能證出，可用等量代換法證明。

由CD平分∠ACB，得出∠1＝∠2，由DE‖BC，再得出∠3＝∠2，由此推出DE＝CE⑴，同理可證出EC＝EF⑵，由⑴⑵得出DE＝EF。

等量代換是常用的轉化方法。

五、 聯想轉化

“觀察→聯想→轉化”常常是解題的三步曲，在幾何教學中，要重視幾何圖形的大膽嘗試，巧妙地轉化為所學過的基本圖形，從而解決問題。

例5. 如圖△ABC中，AD是∠BAC的角平分線交BC于點D，求證：BD:DC＝AB:AC

解析：由圖形和已知可知△ABD和△ACD不可能相似，似乎證題陷入了困境，而聯想尋求比例線段的基本圖形，通過大膽添加輔助線構造基本圖形，可為我們解題開辟一條條新的途徑。

證法㈠：過點C作AD的平行線交BA的延長線于點E（如圖1）構造了“寶塔”形，得BD:DC＝AB:AE，只須證AE＝AC即可。

同理可得，證法㈡：過點B作AD的平行線，交CA的延長線于點E（如圖2）。

證法㈢：過點D作AB的平行線交AC于點E（如圖3），也可得“寶塔”形，得BD:DC＝AE:EC，再證AE＝DE，又由△CDE≌△CBA，可得DE:EC＝AB:AC。

六、 一般與特殊的轉化

在發現客觀規律的最初階段，往往通過個別的特殊現象，加以抽象提高，得出一般的規律，然后用一般的方法加以嚴密證明，通過一般到特殊、特殊到一般，順向思維和逆向思維相結合，使問題逐漸明朗、化難為易。

例6. 如圖，在△ABC中，E是AC的中點，D是BC上一點，若BC＝1，∠ABC＝60°，∠BAC＝100°，∠CDE＝80°。試求△ABC的面積與二倍的△CDE的面積之和。

七、 旋轉轉化

當直接尋求幾何圖形中的有關量受阻時，有時可將平面圖形繞著定點或定直線沿定方向旋轉到某一角度，而得與原圖形全等的圖形，由此溝通已知和未知的聯系，從而使問題獲得簡解。

八、 輔助轉化

有些平面幾何習題，可以引進輔助變量、輔助函數、輔助方程、輔助線、輔助角、輔助平面圖形等，把問題簡化，使問題獲解。

例7. 如圖，AB＝AC＝AD，如果∠DAC是∠CAB的k倍，那么∠DBC是∠BDC的（）倍。

分析：本題若用全等形成相似形知識求解，條件難找，思路不明，如果改從AB＝AC＝AD入手，構造輔助圓，就容易借助已知條件解決問題。

解：如圖，由題設可知，若以A為圓心，AB為半徑作圓，則該圓必經過C、D兩點。

∴∠DAC＝2∠DBC

∠BAC＝2∠BDC

∵∠DAC＝k∠BAC

∴∠DBC＝k∠BDC

九、平移轉化

在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此通過平移可以把分散的條件、結論加以集中，可以把不規則的圖形轉化為有序的規則圖形。

例8. 如圖①，修筑同樣寬的兩條“之”字路，余下部分作為耕地，若要使耕地的面積為540平方米，那么道路的寬應是多少米？

解析：

利用平移，可把圖形①轉化

為圖形②，設道路寬為x米，

則有（20-x）（32-x）=540

得x1=2，x2=50（舍去）

故道路寬為2米。

十、構造轉化

在解有些數學問題時，通過對條件與結論的分析，有時會聯想到熟悉的輔助模型，如圖形、方程、函數等以此進行相應的構造，揭示問題的本質，使原問題中隱含的關系和性質清晰地展示出來，促使問題的轉化。

數學教學中轉化絕不僅以上幾種，其余轉化不再贅述，值得注意的是以上轉化并不各具獨立，它們是互相聯系、互相滲透的，解題中要注意綜合使用。

（蘭溪市聚仁學校）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。

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