試論幾何推理的若干特點

周　超

說到推理，人們首先想到的是幾何推理；而說起幾何推理，往往又是指演繹推理. 實際上，“推理”一詞有著廣泛的意義，目前，一個普遍的看法是：任何與解決困難有關的動作、嘗試與錯誤、程序都常被作為一種推理的形式，特別地，任何從已有信息中提取新信息的過程都被看作是推理. 按照這種觀點，幾何推理顯然不等于演繹推理. 由于幾何的多樣性，幾何推理的形式和水平也非常豐富，其中除了演繹推理外，還包括視覺推理，自然推理，歸納推理，類比推理等.

此外還需要更新的一個觀念是：演繹推理也不等于傳統的三段論. 這里有兩個原因，一是作為演繹推理基礎的邏輯已經從狹窄的形式邏輯中解放出來，出現了各種各樣的邏輯；二是三段論只不過是形式邏輯中的一種推理方式，除此之外，還有關系推理.

隨著幾何推理的外延的拓展，我們認為，它具有以下三個方面的特點：

1 幾何推理往往借助于直觀

心理學的研究表明，幾何活動一般涉及三種認知過程(Mammana and Villani， 1998)：

確認二維和三維空間中的圖形和形狀，

這種確認依賴于一些特殊的規則，

這些規則與構造和表征的方式相對是獨立的.

圖1 認知活動的三個過程

下面我們通過一個簡單的例子來分析具體幾何活動(解決幾何問題)中的上述三種認知過程.

例1 證明平行四邊形對角線互相平分.

視覺過程 幾何中的視覺過程涉及三個方面的變化：維度的變化，圖形的變化和觀察點(或者說背景)的變化. 其中，維度變化是觀察一個圖形所表示對象的基本的認知過程，在問題解決中擔負著啟發探索的角色. 圖形變化，或者操作性理解，則相對來說比較復雜，并且不容易意識到. 而背景的變化則相對來說比較熟悉.

圖2

在處理平面幾何問題時，視覺過程通常是從二維角度來理解圖形. 例如，在本題中(圖2)，視覺過程把平行四邊形看作一個表面，如桌子的表面，或者在其他平面(而不是正面)上的正方形，或者平行四邊形. 當圖形是通過工具(直尺和圓規，或者計算機軟件)構造出來時，更容易被看作是一種幾何表示而不是實際物體. 對于本題來說，解題的關鍵是“看出”圖中有一對全等的三角形(圖中的粗線部分). 因此，視覺過程的主要作用是感知圖形的整體形態，并將圖形從背景中分離出來.

構造過程 幾何構造過程的一個重要的特征是維度或者位置上的變化. 例如，在圖2中，“平行四邊形”被看作是幾個一維或者二維圖形：“線段”、“頂點”、“角”在平面上的組合；而粗線三角形△OAB則可以看作是由平行四邊形的一條邊AB、角OAB和角AOB構成的，由此使我們可以分別討論△OAB和△OCD的邊角之間的關系，并進而推出兩個三角形全等. 因此，幾何構筑過程的作用主要是把一個圖形分解為基本成分或者組合成一些基本圖形，然后，利用基本成分或者基本圖形的關系來解決相應的幾何問題.

推理過程 推理過程涉及對知識的擴展、證明和解釋，并且要借助于已有知識和邏輯規則. 在本題中，圖形首先是作為數學對象：“平行四邊形”，而不僅僅是一種形狀或者一個構造，由此得到的是對可能的幾何結構和線段之間的關系(對象的性質)的理解，這種結構和關系并且通過記號得到強調. 例如，由“平行四邊形”的定義推出AB=CD，∠OAB=∠OCD，∠AOB=∠COD，從而推得△OAB和△OCD全等，并最終完成證明過程.

從上述例子可以看到，在具體的幾何活動中，這三種認知過程往往是糾纏在一起的. 其中，視覺過程和構造過程這兩個直觀的過程往往有助于推理過程的形成. 當然，這里的直觀并非只是圖形的直觀，也包括符號及其它抽象形式的直觀. 例如，在上面的例子中，由△OAB∽△OCD，可依據字母的排列順序“直觀地”推出：OA=OC，OB=OD，即平行四邊形的對角線互相平分.

2 幾何推理具有明顯的層次性

早在上世紀50年代，荷蘭的范希爾夫婦就把幾何思考水平劃分為如下五個層次(Burger and Shaughnessy，1986)：

層次0 視覺 (visuality)

兒童能通過整體輪廓辨認圖形，并能操作其幾何構圖元素(如邊、角)；能畫圖或仿畫圖形，使用標準或不標準名稱描述幾何圖形；能根據對形狀的操作解決幾何問題，但無法使用圖形之特征或要素名稱分析圖形，也無法對圖形做概括的論述. 例如：兒童可能會說某個圖形是三角形，因為它看起來象一個三明治.

層次1 分析(analysis)

兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質間的關系，也無法了解圖形的定義；能根據組成要素比較兩個形體，利用某一性質做圖形分類，但無法解釋圖形某些性質之間的關聯，也無法導出公式和使用正式的定義. 例如：兒童會知道三角形有三條邊和三個角，但不能理解如果內角愈大，則對邊愈長的性質.

層次2 非形式化的演繹 (informal deduction)

兒童能建立圖形及圖形性質之間的關系，可以提出非形式化的推論，了解建構圖形的要素，能進一步探求圖形的內在屬性和其包含關系，使用公式與定義及發現的性質做演繹推論. 但不能了解證明與定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立證明結果的成立，也未能建立定理網絡之間的內在關系. 例如：學生了解了等腰三角形的性質后，他們會推出等腰直角三角形同時也是直角三角形的一種，因為等腰直角三角形較直角三角形多了一些性質的限制. 因此，學童能作一些非正式的說明但還不能作系統性的證明.

層次3 形式的演繹 (formal deduction)

學生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學中的公理、定義、定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關系網絡，能比較一個定理的不同證明方式；能理解證明中的必要與充分條件，例如至少有一條邊對應相等或至少一個角對應相等是證明兩個三角形全等的必要條件，兩角夾邊對應相等則是兩三角形全等的充分條件；能寫出一定理的逆定理，如平行四邊形的對角線互相平分，其逆定理是對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

層次4 嚴密性(rigior )

在這個層次，能在不同的公理系統下嚴謹地建立定理，以分析、比較不同的幾何系統，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統的比較.

范希爾夫婦的上述五個幾何思考層次得到了許多后繼研究的證實，并被廣為應用. 而實際上，這五個思考層次也可以看作是幾何推理的五個層次. 這種層次的劃分，對幾何課程的制定及學生的學習都有著重要的實際意義.

3 幾何推理方式的多樣性

正是由于幾何推理往往涉及多種過程并且可以劃分為多種層次，因此，其表現形式也具有多樣性，大體上可以區分出三種基本形式：

(1)圖形推理

這是一種依賴于視覺過程和構造過程的直觀描述. 例如，通常我們說的幾何“無字證明”就屬于這種情況. 我們來看下面的問題：

例2 在下面的圖形中，AC是矩形ABCD的對角線，當U點在對角線AC上移動時，比較陰影部分的面積的大小.

“無字證明”：

①

②

③

(2)自然推理

一種用普通語言進行描述、解釋和論證的即時的表現. 自然推理往往伴隨著圖形推理，而大多數情況下，它是對圖形推理的一種口語化的描述. 目前我國新的數學課程標準中，在初中低年級推行的所謂幾何“說明”實際上就屬于自然推理.

(3)理論推理

也即演繹法，與邏輯有密切的聯系，其表現形式可以是純粹的符號，也可以是自然語言，但這兩種形式對學生來說無論是難度上還是意義上都是不同的.

在幾何中，用于證明的演繹推理需要兩個條件：

■命題的利用，而每一個命題又以特殊的理論體系為前提：公理、定義、定理、假設、猜想等；

■推理的每一步都依賴于定理、公理或者定義.

換句話說，這里所提供的信息的形式是不同的：它只能是命題；而信息的組織也是不同的，通常有三個水平：一是整體水平，其中的每一步都與結論有關；二是局部水平，涉及題設、定義和定理、結論之間的組織；三是微觀水平，作為工具的命題的內部組織，包括兩部分：條件與結論. 顯然，在局部水平的組織上，自然推理過程和理論推理過程有本質的差異，也就是說，理論推理不同于我們日常生活中用到的推理方式.

近年來，隨著“幾何推理”的外延的擴展，它也從單純的證明工具轉變成為發現各種幾何事實和關系的途徑，成為知識的擴展和解釋的推進器，成為一種說服別人相信幾何猜想的手段. 正如漢德森(D. Henderson)所說(Mammana and Villani， 1998)：

■生動的幾何推理更多地注意隱藏在公式和符號后面的意義——一種以直覺、想象和現實經驗為基礎的意義；

■生動的幾何推理知道幾何中的定義、假設是隨著背景和觀點的改變而改變的；

■生動的幾何推理是作猜想、尋找反例、發展聯系；

■生動的幾何推理總是問：為什么?

參考文獻

[1] Burger， W. and Shaughnessy， W. (1986) "Characterizing the van Hiele Levels of Development in Geometry." Journal for Research in Mathematics Education 17： 31-48.

[2] Mammana， C. and Villani， V.(1998). Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century.(New ICMI Study Series Volume 5) Dordrecht： Kluwer.

作者簡介：周超，女，1978年8月出生，江蘇高郵人，主要研究方向為數學教育理論與實踐.