用探究方法求滿足某條件的點

徐　強

探究類問題是近年來中考中的一個熱點和亮點之一，由于解決這類問題既要有較強的想象能力，也要有基礎知識和基本技能靈活運用的應變能力(遷移能力)，有時還需加上一定的猜想能力. 因此，在解題時，稍有不慎，往往就會出現漏解或錯解. 那么，如何完整合理地解決這類問題呢?本文就列舉關于滿足某條件的點的探究題為例，談點探究方法，供參考.

1 作弧探究法

例1 在等邊△ABC所在的平面內，同時滿足△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形的點P的個數有幾個?

解 根據線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等性質，所以在如圖1中，分別畫出線段AB、BC、AC的中垂線，則三條中垂線的交點就是符合條件的一個P1點，再以A為圓心，以AC長為半徑畫弧與直線AP1交于P2，與直線CP1交于P3，與直線P1A交于P4. 同樣，以點B、點C分別為圓心，以AC長為半徑，畫弧后則又可得到符合條件的另6個點. 因此，滿足題中條件的點有10個.

例2 如圖2，正方形ABCD所在平面上有點P，(如圖中所畫的點P1)使△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，問具有這樣性質的點P有多少個?在圖中畫出來.

解 在圖中分別過正方形對邊中點作直線EF、GH，再以點A、點C分別為圓心，以正方形ABCD的邊長為半徑畫弧，則可得正方形內部與兩條對邊中點的連線交點P2、P3、P4、P5，在兩條直線外部可得交點P6、P7、P8、P9. 因此，具有這樣性質的點P共有9個.

例3 直線y=x-1與坐標軸交于A、B兩點，點C在坐標軸上，△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點C最多有個.

A.4 B.5 C.7 D.8

解 先作出直線y=x-1在坐標軸中的圖像. 如圖3，因為A(0，-1)，B(1，0)，所以OA=OB，則點O處就是滿足條件的點C，另外，以點B為圓心，AB長為半徑時，畫弧與坐標軸相交的有三個C2、C3、C4；同樣以點A為圓心，AB長為半徑畫弧又可得另三個交點C5、C6、C7. 因此，滿足條件的點C最多有7個，故選C.

2 分類討論法

圖4例4 如圖4，點M是直線y=2x+3上的動點，過點M作MN垂直x軸于點N，y軸上是否存在點P，使以M、N、P為頂點的三角形為等腰直角三角形，小明發現：當動點M運動到(-1，1)時，y軸上存在點P(0，1)，此時有MN=MP，能使△NMP為等腰直角三角形，在y軸和直線上還存在符合條件的點P和點M，請你寫出其它符合條件的點P的坐標.

解 由題意，根據小明的發現，當M運動到(-1，1)時，ON=1，MN=1，因為MN⊥x軸，所以由ON=MN可知，(0，0)就是符合條件的一個P點. 又當M運動到第三象限時，要MN=MP，且PM⊥MN，設點M(x，2x+3)，則有-x=-(2x+3)，解得x=-3，所以點P坐標為(0，-3).

如若MN為斜邊時，則∠ONP=45°，所以ON=OP，設點M(x，2x+3)，則有-x=-12(2x+3)，化簡得-2x=-2x-3，這方程無解，所以這時不存在符合條件的P點.

又當點M在第二象限，MN為斜邊時，這時NP=MP，∠MNM=45°，設點M(x，2x+3)，則OP=ON，而OP=-12MN，所以有-x=-12(2x+3)，解得x=-34，這時點P的坐標為(0，34).

因此，其他符合條件的點P坐標是(0，0)，(0，34)，(0，-3).

3 推理論證法

例5 如圖5，矩形ABCG(AB

A.0 B.1 C.2 D.3

解 此題實質是直線BD與以AE為直徑的圓的位置關系問題.

連結AE，并設矩形長為a，寬為b，由勾股定理，則AE=(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2 . 所以此圓半徑長為12AE，即122a2+2b2. 因為圓心到直線BD的距離等于梯形ABDE的中位線長，即12(a+b)，比較2a2+2b2與(a+b)的大小，只要比較2a2+2b2與(a+b)2的大小. 因為2a2+2b2-(a+b)2=(a-b)2. 因為a≠b，且a>b，所以(a-b)2>0，則BD與以AE為直徑的圓有兩個交點，即使∠APE為直角的點P的個數是2個，故應選C.

例6 如圖6，在直角坐標系xOy中，O是坐標原點，拋物線y=x2-x-6與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C. 如果點M在y軸右側的拋物線上. S△AMO=23S△COB，那么點M的坐標是.

解 因為y=0時，x2-x-6=0，解這方程得x₁=-2，x₂=3. 所以A(-2，0)，B(3，0). 所以OA=2，OB=3，又由y=x2-x-6，當x=0時，y=-6，所以OC=6. 因為OC⊥OB，S△AMO=23S△COB，所以S△AMO=23×12OC. OB=6，設M(x璏，y璏). 則S△AMO=12×OA×|y璏|=6，因為點M在拋物線上，所以當y璏=-6時，有x2璏-x璏-6=-6，解得x璏=1或x璏=0(已有點C，不合題意，舍去)，所以M1(1，-6).

又當y璏=6時，x2璏-x璏-6=-6，解得x璏=4或x璏=-3(不合題意，舍去)，所以M2(4，6).

因此，符合條件的點M有(1，-6)和(4，6).

4 綜合法

例7 在勞技課上，老師請同學們在一張長為17厘米，寬為16厘米的長方形紙上，剪下一個腰長為10厘米的等腰三角形(要求等腰三角形的一個頂點與長方形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在長方形的邊上)，請你幫助同學們畫出示意圖，并計算剪下的等腰三角形的面積.

解 因為等腰三角形的一個頂點與長方形的一個頂點重合，另兩個頂點又在長方形邊上，17>10，16>10，所以如圖7①就是符合條件的一種情況，這時三角形的面積為S△=12×10×10=50(cm2).

又當等腰三角形一腰與長方形雙重合量，如圖7②，因為AD=17，所以ED=7，因為EF=10，由勾股定理得DF=51，所以S△=12×10×51=551(cm2).

同樣，AE落在AB邊上時，以點E為圓心，以10cm長為半徑畫弧，與BC邊交于點F，則△AEF就是符合條件的三角形，此時三角形面積為12AE·BF，因為BE=6，EF=10，所以BF=8，所以S△=12×10×8=40(cm2)(如圖7③).

由此看來，找三角形可轉化為一邊先確定，再找出符合條件的另一個頂點.

作者簡介：徐強，1978年10月，中教二級，大學本科，主要研究初中數學的解題方法的總結以及怎樣培養學生的探究.歸納等各種數學思想.

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