利用“降次”的思想來解又如何呢

叢燕燕　孔令會

例1 已知α、β是方程x2+x-1=0的兩根，求α2β的值.

例2 若α、β是方程y2-2y-1=0的兩根，不解方程求2α+3β2的值.

這兩道題是同種類型的題目，需要利用韋達定理求含有某一元二次方程兩根的代數式的值.文[1]和文[2]先后向讀者介紹了這兩道題各自不同的解法(兩文中的解法參見原文)，文[1]中增設了新的未知數，對這一類型的題給出了一種通用的解題方法——增元，確實引入了一種新的解題思想. 但這一解題思想確如文[2]中所說的，不容易被大多數學生掌握.文[2]中批評了題中“不解方程”這一“舍近求遠，棄易用難”的要求，而提出利用求根公式去解.筆者對此持不同見解：(1)利用求根公式解決這兩道題確實不太麻煩，但對于這一個類型的題則不然.當方程的系數太大或所求代數式中α、β的次數過高時，利用求根公式直接求解會很麻煩；(2)“不解方程”是題目中的要求，不是解題人為了“化難為易”而獨創的，這樣的要求在初中代數教材第三冊中也出現過；(3)雖然文[2]中“不解方程”，但增設了新的未知數，根據對稱性構造了一個新方程，卻又解了新方程.并且這一解法僅是文[1]解法的改進.既然這樣，如果去掉題目中的“不解方程”的限制，筆者對這兩道題也有另外的解法.

例1的解法.

此種方法筆者增在課堂上嘗試過，大多數學生一聽就明白.使用這種解法時，主要抓住一條思想——“降次” ，將代數式中的兩根的次數均化為1次，再利用韋達定理或求根公式求解.但解題有法，卻無定法.這兩個例題的解法二就是給讀者一個參考，使用同一種方法，解起來也可以靈活多樣.

再看看下面這個例題.

此題若直接用求根公式去解，會怎么樣呢?感興趣的讀者不防試一試.

參考文獻

[1] 李宗道.引入增元思想，培養學生解題能力[J].數學教學研究，2002，(3).

[2] 張在明.何必舍近求遠，棄易用難[J].中學數學教學參考，2002，(11).

作者簡介：叢燕燕，女，1971年6月生，大學本科學歷，中學一級教師.

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