一組正方形試題的共性

謝　勇

隨著課標(biāo)教材的逐步使用，中考中與直線形相關(guān)的證明探索類題目日漸增多，在日常教學(xué)中，有必要對其相關(guān)變化規(guī)律作以研究.本文就一組正方形試題的共性作些探討.

如圖1，AE⊥BE于E，AD⊥DC于D，BC⊥DC于C，D、E、C三點在一條直線上，則△ADE∽△ECB，若附加上條件AD=EC或DE=CB或AE=EB，則有△ADE≌△ECB.

接下來，我們將圖1中的△BEC沿直線CD向左平移使C、E兩點重合得圖2，取BF與AC的交點為G，則有△ADC∽△FGC∽△FCB∽△CGB.若附加上條件AD=FC或DC=CB或AC=FB，則有△ADC≌△FCB.

這兩種圖形常見于與三角形全等和相似有關(guān)的題目之中，其中相關(guān)結(jié)論的考查應(yīng)用頻繁出現(xiàn)在我們的視野里.由于正方形的四個角為直角可以提供線段之間的垂直條件，四條邊相等又可以提供線段相等的條件，所以正方形能很好地作為上述圖形條件的顯示載體，可以將三角形的全等和相似知識糅合進(jìn)來，這就是本文所要描述的共性特點.那么，又如何以正方形為載體，把上述共性融進(jìn)不同的題目之中呢?下面通過幾道具體實例的解答點評予以說明.

圖3例1 如圖3，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B、C重合的任意一點，連結(jié)AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q，設(shè)BP的長為xcm，CQ的長為ycm.

⑴求點P在BC上運動的過程中y的最大值；

點評 此題由正方形條件提供了AB⊥BC、DC⊥BC，得出結(jié)論△ABP∽△PCQ成立所需的條件，接下來應(yīng)用相似三角形產(chǎn)生的相似比即可建立起y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式，結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，是文首知識的簡單體現(xiàn)，表現(xiàn)出推陳出新的特點，以變化的形態(tài)有機的將幾何與代數(shù)結(jié)合起來.

例2 如圖4，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD的中點，AF、DE相交于點G，則可得結(jié)論：①AF=DE，②AF⊥DE.(不需要證明)

(1)如圖5，若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，但滿足CE=DF.則上面的結(jié)論①、②是否仍然成立?(請直接回答“成立”或“不成立”)

(2)如圖6，若點E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時上面的結(jié)論①、②是否仍然成立?若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.

(3)如圖7，在(2)的基礎(chǔ)上，連結(jié)AE和EF，若點M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種?并寫出證明過程.

簡解 ⑴成立.

⑵成立.

證△ADF≌△DCE，得∠AFD=∠DEC，AF=DE.又∠DEC+∠CDE=90°，

所以∠AFD+∠CDE=90°，

所以∠FGD=90°，即AF⊥DE.

⑶正方形.

證明：由三角形的中位線定理知MQ∥ED，MQ=12ED；NP∥ED，NP=12ED；MN∥AF，MN=12AF.所以MQ平行且等于NP，

所以四邊形MNPQ是平行四邊形.

又由AF=ED得MQ=MN，所以平行四邊形MNPQ是菱形.又AF⊥DE，結(jié)合平行直線最終可證得∠QMN=90°.所以菱形MNPQ是正方形.

點評 在本題圖4中，以正方形的形態(tài)提供了條件AD=CD和DF=CE，而將AF⊥DE作為結(jié)論予以探討，和文首知識相比具有互逆思考的特點，體現(xiàn)出文首所敘知識的通性、通法的地位，具有豐富的變化內(nèi)涵.接下來，運用特殊與一般的思想在⑴、⑵兩問中將本題圖4中的條件一般化，讓學(xué)生分析其中的共性，探求其中不變的數(shù)學(xué)結(jié)論，富有層次感.至第⑶問，又設(shè)置出探究中點四邊形的問題，將變化推到一個新的高度.從而較好地體現(xiàn)出分析問題要按照由淺入深、由簡單到復(fù)雜的步驟去進(jìn)行的思考特點，同時又展示出如何在變化中尋求共性的探究思考解決問題的模式.

例3 已知：如圖8，在正方形ABCD中，AD=12，點E是邊CD上的動點(點E不與端點C、D重合)，AE的垂直平分線FP分別交AD、AE、BC于點F、H、G，交AB的延長線于點P.

⑴設(shè)DE=m(0

點評 從左側(cè)看此例圖形，會發(fā)現(xiàn)其中蘊含有文首圖2那樣的基本圖形.待過點G作GM⊥AD于M后，借助由正方形提供的AD=AB=GM，就可證得△GFM≌△AED，據(jù)此再把條件放進(jìn)由全等三角形和相似三角形得出的相等線段和相似比中，就可一直轉(zhuǎn)化思考下去.此例綜合程度要比前兩例高些，思考起來需要學(xué)生不只是簡單地對文首基本圖形結(jié)論作以了解即可，而要能對在其上覆蓋一層“外衣”后的形貌有較強的辨析能力，教師在教學(xué)中應(yīng)著重滲透和牽連呈現(xiàn)的也在這方面.

以上所選例題都是課改實驗區(qū)的中考試題，我們可從中感受到問題解決過程中所蘊涵的知識原始生成狀態(tài)以及日常數(shù)學(xué)教學(xué)中的通性、通法的體現(xiàn)，啟示教師要將最基礎(chǔ)的知識和最基本的技能有條理地滲透下去，于此基礎(chǔ)上方可求新、求異.

作者簡介：謝勇，1978年5月生，中學(xué)二級教師. 參與湖北省中小學(xué)校長協(xié)會科研課題"中學(xué)生心理健康調(diào)查分析"及湖北省教育科學(xué)"十一五"規(guī)劃課題"當(dāng)代中學(xué)生學(xué)習(xí)特點和學(xué)習(xí)方式研究"課題的研究. 近年來在《中學(xué)數(shù)學(xué)教育》、《中小學(xué)教學(xué)研究》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》等期刊報紙上發(fā)表多篇教育教學(xué)論文.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”