編擬、選擇數學題應注意的幾個問題

陳　杰

作為數學教師，我們幾乎每天都要把一些題目呈現給學生.尤其是進入中考復習階段，每節課都要進行一定數量的習題訓練或測試.只有高質量的習題才能更好地發揮訓練、測試功能.有的老師們自己編擬試題，更多的老師是直接引用各種資料上的試題.由于某些資料上的試題質量良莠不齊，在編擬試題、選擇試題時，稍不注意，就會出現這樣那樣的問題，影響了學生學習、測試的效果.本文談一談選擇、編擬數學試題、習題應注意的幾個問題，為老師們提個醒.

1 注意試題科學、嚴密

例1 東梅體育商店為推銷某一品牌的運動服，先進行了市場調查，得到數據如下表所示：

(1)以x作為點的橫坐標，p作為點的縱坐標，把上表中的數據在圖中(圖略)的直角坐標系中描出相應的點，觀察連接各點所得的圖形，判斷p與x的函數關系，并求出p與x的函數表達式.

(2)略；(3)略.

有的習題條件多余造成自相矛盾，有的習題文字敘述歧義、題意不清，這里就不一一舉例了.盡管這類題目少之又少，但還是要認真選擇，以防萬一.

2 要防止知識、要求超標

例3 (Ⅰ)請將下表補充完整：

(Ⅳ)試寫出利用你在填上表時獲得的結論解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)時的解題步驟.

說明 不要把高中知識作為學生探究的素材，這樣會擴大學生學習的范圍，增加了學生的負擔.各種資料上這類習題也有，選用時，請注意試題所涉及的內容和難度不要超出《課標》的規定.

3 考查目標要明確

3.1 每道試題都要有明確的考查(訓練)目標

例4 為了配合“八榮八恥”宣傳教育，針對闖紅燈現象時有發生的實際情況，八年級某班開展了一次題為“紅燈與綠燈”的課題學習活動，他們將全班學生分成8個小組，其中第①～⑥組分別負責早、中、晚三個時段闖紅燈違章現象的調查，第⑦小組負責查閱有關紅綠燈的交通法規，第⑧小組負責收集有關的交通標志.數據匯總如下：

標志含義： 標志含義：

(3)早晨、中午、晚上三個時段每分鐘車流量的極差是，這三個時段的車流總量的中位數是.

(4)觀察表中的數據及條形統計圖，寫出你發現的一種現象并分析其產生的原因.

(5)通過以上調查、統計、分析，向交通管理部門提一條合理化建議.

說明 本題中問題(1)、(2)考查的都是非數學內容.數學教學具有德育教育的作用.學生在學習數學的過程中，其情感、態度、價值觀也必定會發生一些變化.教學時，不能忽視情感、態度、價值觀等目標的實現.但是否要出一道試題考查德育目標呢?筆者認為對“情感、態度、價值觀”等目標的考查，最好伴隨著對數學知識、能力的考查之中實現.

3.2 要重視核心內容的考查

例5 某農場中學八年級的同學就每年過生日時，你是否會向母親道一聲“謝謝”這個問題對本年級66名同學進行了調查.調查結果如下：

(1)請你整理上述數據，填寫下表.(頻率保留四個有效數字)

(2)選擇適當的統計圖描述這組數據.

(3)通過對這組數據的分析，你有何感想?(用一、兩句話表示即可)

回答內容頻 數頻 率是有時否 說明 學生解答本題時，首先要計數——整理數據，這一過程思維量不大，耗時較多.問題(2)“選擇適當的統計圖描述這組數據”應是本題考查重點的內容.如果學生數據整理時馬虎出錯，即使學生明白其中的道理，會畫統計圖，其結果也會受(1)的影響.本題在學習新課時，作為練習題可以，但總復習時作為測試題，不太理想.選題時，要重視考查學生對本學科核心內容的掌握.

4 盡可能少出死記硬背的知識題

例6 要證明一個四邊形是菱形，可以先證明這個四邊形是形，再證明這個四邊形是(只須填寫一種方法).

說明 這類題目僅考查學生對某一知識的記憶水平，學生只需把記憶的文字復述出來即可，思維量極低.在平時偶爾讓學生練一下，未嘗不可.但用于測試，會助長死記硬背的傾向.

例7 某次歌唱比賽中，6位評委對某位選手的打分如下：

9.6，9.4，9.2，9.6，9.5，9.4.

(1)求這6個分數的平均分；

(2)如果規則規定，去掉一個最高分和最低分，余下的分數的平均分為選手的最后得分，求這位選手的最后得分.

說明 對于本題，學生只需套用平均數公式即可完成，不能考查出學生對平均數概念的深層次理解，而且2個問題在思維層次方面沒有多大變化.好的習題，各個小問題的設計，應是層層深入，思維量逐層加大.

一般來說，統計類的試題，指明要求平均數、中位數、眾數、極差等，其思維量極低，記住公式即可.對統計中用于刻畫數據“平均水平”的統計量——平均數、中位數、眾數以及刻畫數據波動情況的統計量——極差、標準差、方差等概念的考查，重點不應是概念的記憶與運用，而應側重于考查學生在具體問題情況下自主選擇適當的統計量解決問題，作出決策的能力.要體現“輕模仿，重理解”，注重能力立意.

5 要設計好問題情境

新課程提倡培養學生的數學應用意識和解決問題的能力.應用題是學習、考查的重點之一.問題的實際情境應來自于學生能夠理解的生活現實，符合學生所具有的數學現實、學習經驗.

5.1 避免“假”應用題

例8 某學校的籃球數比排球數的2倍多2個，籃球數與排球數的差是16，那么，該校的籃球數、排球數分別是多少?

說明 對于這類應用題，學生只需進行簡單的文字翻譯就可解決，思維量極低，故稱為“假”應用題，剛剛學習應用題時，可用于引導學生列方程，但作為測試題，難度太小.

5.2 問題情境應真實、合理

例9 甲、乙、丙三人競選班長，甲當班長的可能性為.

說明 學生競選班長的過程中，人為的因素太多，每一個人當選班長的概率不可能是三分之一.本題脫離實際，學生無法回答.我們初中階段所涉及的隨機現象都是基于簡單隨機事件：所有可能發生的結果是有限的，每個結果發生的可能性都相同的.

5.3 問題情境不能離學生的生活實際太遠

圖1 例10 2005年10月，繼楊利偉之后，航天員費俊龍、聶海勝又遨游了太空，這大大激發了王紅庭同學愛好天文學的熱情.他通過上網查閱資料了解到，金星和地球的運行軌道可以近似地看作是以太陽為圓心的同心圓，且這兩個同心圓在同一平面上(如圖1所示)，由于金星和地球的運轉速度不同，所以二者的位置不斷發生變化，當金星、地球距離最近時，此時叫“下合”；當金星、地球距離最遠時，此時叫“上合”；在地球上觀察金星的視線恰好與金星軌道相切時，此時分別叫“東大距”和“西大距”，已知地球與太陽相距約15(千萬km)，金星與太陽相距約10(千萬km)，分別求“下合”、“東大距”、“西大距”、“上合”時，金星、地球的距離(可用根號表示).

(注：在地球上觀察金星，當金星分別在太陽的左、右兩側且視線恰好在與金星軌道相切的位置時，分別叫做西大距、東大距)

說明 本題中的專業術語較多，閱讀量較大，不利于展示學生的“數學”學習水平.學生解題時真正的難度是閱讀文字、理解題意，而一旦理解了題意，其數學模型又較簡單.創設的問題情境最好是學生身邊的、熟悉的，不能讓非數學的文字、術語影響了學生對數學本質的把握.文字的閱讀量也不宜過大?

6 要注意試題的呈現方式

很多教師更多關心試題考查的內容，卻往往忽視了試題的呈現方式.其實，試題的呈現方式也是一個很重要的問題，會直接影響訓練、測試的效果.

例11 不查表，估計2002的大小應在( )

A.42～43之間 B.43～44之間

C.44～45之間 D.45～46之間

說明 學生試著求出42，43，44，45，46等數的平方，就可看出2002的大小范圍——解題時不需全部求出.若改為：不查表，與2002最為接近的整數是.學生須先估計，再探究，其訓練的效果更好一些!

例12 觀察下列方程：(1)2x2-1=0，(2)2x2-5xy+6y2=0，(3)7x2-6x=0，(4)(x-1)2=x2-4. 其中一元二次方程的共有( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

說明 本題的選擇支為“正確的答案有幾個”，這種設問方法有一定的缺陷.如果學生對某兩個選擇支都判斷錯誤，仍有可能選到正確的答案.新課標要求適當淡化概念，不要在概念上鉆牛角尖，但不等于不能考查學生對概念的掌握情況.怎么考，有些中考試題中的開放題應是不錯的探索.可見，編擬試題時，選擇好考查內容，還要考慮通過何種方式向學生呈現.

7 避免硬性拼湊的試題

例13 有下類說法或解法：①用換元法解方程x2+x+1=0，設y=x2+x，則原方程可以化為y+1=2y；②平分弦的半徑垂直于弦，并且平分弦所隊的一條弧；③平面直角坐標系內的點與實數一一對應；④“對頂角相等”的逆命題是真命題.其中正確的有( )

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

說明 本題選擇支的內容雜亂，把不相關的內容拼湊在一起，只為多考查幾個知識點，而沒有充分發揮選擇題的優勢.編擬選擇題時，最好圍繞一個問題情境，從不同角度提出具有迷惑性的選擇支，考查學生思維的水平，診斷學生的學習狀況.且本題的選擇支設計不合理.

圖2 例14 如圖2，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，將該矩形沿著BD折疊，點C落在C′處，BC′交AD于點E.sin∠ABE=35，關于x的方程x2-8(b-1)x+4a2-48=0的兩個實根之差的平方小于128.

證明 若a，b都為整數，則反比例函數y=a+bx的解析式為xy=3.

說明 本題中矩形的長a、寬b與關于x的一元二次方程沒有什么內在的聯系，只是用了同樣的字母.通常，我們利用知識之間的內在聯系編擬試題，可以較好地考查學生對知識理解的深度和靈活運用知識解決問題的能力.但如此把不相關的內容拼湊在一起，其綜合性和思維的深度降低，感覺也不自然.所以，在編擬習題時，應注意知識之間內在、合理的聯系，避免硬性拼湊.

8 避免試題的知識點過于集中、難度過大、缺乏梯度

圖3例15 如圖3，點A、B、D都在x軸上，以AB為直徑的⊙O1與以DO1為直徑的⊙O2交于點C、C1，點C在y軸的正半軸上，1OA-1OB=14，拋物線y=ax2-2ax+c過A，B，C三點，頂點為點P，直線 l過C，D兩點.

(1)求拋物線的解析式及點 P 的坐標；

(2)判斷點 P 與直線 l 的位置關系，并說明理由；

(3)求過點 P 并與⊙O1相切的直線的解析式.

說明 本題集中了代數、幾何較多的知識點，難度較大，梯度較大.試題的最佳“境界”是起步低，層次多.方法活，重本質.入手易，滿分難.

我們在編選試題時，除了要努力避免出現上述各類問題外，應重點關注考查學生對核心觀點、重要的數學思想方法、基本概念、常用方法的掌握情況，還要關注數學知識的生成過程與教育價值.學生的認知風格、數學思維特征、數學表示的偏好存在差異.好的試題，對不同的學生來說可以有不同的解法，達到不同的層次.

作者簡介：陳杰，1966年10月生，威海市教育教學研究中心，初中數學教研，中學高級教師. 主要研究中考數學命題和課堂教學. 先后在《中小學數學》、《中學數學教育》、《中國電化教育》、《中學數學雜志》、《山東教育》等國家級、省級雜志上發表論文十余篇.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”