簡介分形幾何

屈艷霞

在中學(xué)階段，我們學(xué)習(xí)的幾何是歐幾里得幾何，它是用一些簡單而規(guī)則的基本元素(諸如點(diǎn)、線、平面、空間、三角形、正多邊形、圓等等)來描述我們這個生存的世界，例如我們可以用歐幾里得幾何來描述晶體和蜂房等類似這樣規(guī)則的對象. 但是自然界的隨機(jī)性常常產(chǎn)生出許多無法用歐幾里得幾何來描述的不規(guī)則對象，比如山嶺不是錐體、海岸線不是圓周、閃電也不是沿直線傳播的等等. 在這種場合，歐幾里得幾何就無能為力了，分形成了其最好的描述工具.

什么是分形呢?以下我們來通過分析分形幾何的一個典型例子——科赫雪花曲線來對其做一個簡單介紹. 雪花曲線因其形狀類似雪花而得名，這個美麗的幾何分形是由瑞典數(shù)學(xué)家科赫(H.von Koch)在1904年創(chuàng)造的. 他是這樣創(chuàng)造：第一步先給出圖1那樣一個正三角形E1，然后把三角形E1的每一條邊三等分，以居中的一條線段為邊向外作正三角形，像圖2那樣并把居中的線段去掉，這一操作稱作迭代規(guī)則，于是生成了一個6個角12條邊的對象圖E2. 第二步，在圖E2的基礎(chǔ)上，將每條小邊三等分，然后以居中的一條線段為邊向外作正三角形，并把居中的線段去掉，又生成一新對象圖E3. 以后無限重復(fù)此操作，如此一直進(jìn)行下去——最后生成了一個當(dāng)時許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為是“怪物”的“雪花曲線”E.

1 分形的定義

什么是分形呢?目前它還沒有其確切定義. 粗略地說，就是一些雜亂無章、極不規(guī)則的形狀，如云彩、山川、海岸等曲線，都可以看成一種分形. 從以上雪花曲線的生成來看，我們也可以這樣定義分形：在數(shù)學(xué)上說，分形是一種形式，它從一個對象——例如線段、點(diǎn)、三角形——開始，重復(fù)應(yīng)用一個規(guī)則連續(xù)不斷地改變直至無窮. 這個規(guī)則可以用一個數(shù)學(xué)公式或者用文字來描述. 分形的兩個主要特征：1.分?jǐn)?shù)維，即維數(shù)是分?jǐn)?shù). 2.自相似性，我們把圖形的每一部分都和它本身的形狀相同，大小不一定相同，這一相似特性叫做自相似性.

2 Koch雪花曲線E的特性

從Koch雪花曲線E的生成來看，它有如下特性：

(1) 曲線E具有局部與整體的對稱，即把對象的任意一塊細(xì)微部分放大后，其結(jié)構(gòu)看起來仍與原先的一樣，這說明曲線E的復(fù)雜性不隨尺度的減小而消失，即曲線E滿足自相似性.

(2)曲線E難以用經(jīng)典的方法刻畫，從整體上看，它既不是滿足某些簡單幾何條件的點(diǎn)的軌跡，亦不能作為任意簡單方程的解的集合；從局部上看，它不能通過切線來描述(事實(shí)上，曲線E上每點(diǎn)均無切線).

(3)曲線E的“長度”為無窮大，而“面積”有限，雪花曲線的周長持續(xù)增加而沒有界限，但整條曲線卻可以畫在一張很小的紙上，所以它的面積是有限的，實(shí)際上其面積等于原三角形的85倍，因此我們不能用通常的測度(測量長度的單位)來量度它的“大小”.

(4)盡管E具有復(fù)雜的細(xì)結(jié)構(gòu)，但它的定義非常直接. 特別地，E可以由簡單的遞歸方式生成，而且，它的逐階迭代E璳給出E的越來越好的近似.

(5)曲線E的維數(shù)既不是一維的，也不是二維的，而是1.26維. 即它的維數(shù)是個分?jǐn)?shù).

3 分形幾何與歐氏幾何的幾點(diǎn)區(qū)別

由Koch雪花曲線E的特性，我們可看出分形幾何與歐氏幾何圖形的幾點(diǎn)區(qū)別：

(1)歐氏圖形是規(guī)則的，而分形是不規(guī)則的，即歐氏圖形一般是逐段光滑的，而分形往往在任何區(qū)間內(nèi)都不具有光滑性.

(2)歐氏圖形層次是有限的，而分形從數(shù)學(xué)角度上講，層次是無限的.

(3)歐氏圖形一般不會從局部得到整體的信息，而分形往往可以從局部“看到”整體.

(4)歐氏圖形越復(fù)雜，其背后的規(guī)則越復(fù)雜，而分形圖形，看上去十分復(fù)雜，但背后的規(guī)則卻相當(dāng)簡單.

(5)在歐氏幾何中，點(diǎn)是零維的，直線是一維的，平面是二維的，立體是三維的，以及抽象到n維歐氏空間中，維數(shù)總是整數(shù). 但在分形幾何里維數(shù)是個分?jǐn)?shù).

4 分形幾何的創(chuàng)立

1967年，曼德爾布羅特(B.B.Mandelbrot)在美國《科學(xué)》雜志上發(fā)表的“英國的海岸線有多長”的論文，并解釋了這一問題：如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的就不能反映出來. 由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性，曼德爾布羅特認(rèn)為這種現(xiàn)象造成了海岸線的“無限曲折”，并用積分的思想來說明長度不是海岸線所具有的特征. 這篇劃時代論文標(biāo)志著分形思想的萌芽. 1975年，曼德爾布羅特引入英文的“分形(Fractal)”一詞，兩年后，曼德爾布羅特出版了分形學(xué)的奠基性著作《分形：形狀、偶然性和維數(shù)》，人們把這本重要著作的出版看成是分形幾何學(xué)誕生的標(biāo)志. 1982年，曼德爾布羅特又出版了著名的專著《自然界的分形幾何》，分形這個概念便在全世界不脛而走，并迅速深入到自然科學(xué)、工程技術(shù)及社會科學(xué)的各個領(lǐng)域.

有了分形，我們的幾何學(xué)就能描述不斷變化的宇宙. 無論是起伏跌宕的地貌、彎彎曲曲的海岸線、浮動的云朵、飛揚(yáng)的雪花，還是雜亂無章的粉塵、無規(guī)則運(yùn)動的分子、原子的軌跡、萬物生長和演化……都具有分形的特點(diǎn). 英國物理學(xué)家約翰.惠勒(J.A.Wheeler)說：“可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人. ”

參考文獻(xiàn)

[1] [英]肯尼思·法爾科內(nèi). 分形幾何[M]. 沈陽：東北大學(xué)出版社，1991.

[2] 張維忠. 文化視野中的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育[M]. 北京：人民教育出版社，2005.

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