關于提高學生合情推理能力的幾點思考

摘 要：長期以來，中學數學教學一直強調數學的嚴謹性，過分渲染演繹推理的重要性而忽視了生動活潑的合情推理，《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》要求發展學生的合情推理能力，筆者根據自己的教學經驗和理解探討如何提高學生的合情推理能力。

關鍵詞：合情推理；轉變思想觀念；現實生活；演繹推理

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2008）07-0050-02

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》對學生推理能力的要求是“經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點”。所謂合情推理，就是根據已有事實、結果和自己的知識、經驗，在某種情境和過程中對事物的發展趨勢及發展規律，提出一種推測性的看法，這種思維方式就是合情推理。合情推理有三種主要表現形式：歸納推理、類比推理、統計推理。合情推理的作用主要表現在兩個方面：一方面，合情推理能夠加快學生對知識的掌握速度并提高質量。建構主義認為，課本知識只是一種解釋，一種較為可靠的假設，學生對這些知識的學習并非是主體對客體的被動的鏡面式反映，而是一個主動的建構過程，是在理解基礎上對這些假設作出自己的檢驗和調整的過程。所以合情推理是數學建構的主體思維的關鍵步驟，是必不可少的思維方法，它可以促進知識的同化，加速知識的遷移。另一方面，合情推理有助于培養學生的創新精神和創新能力。合情推理的實質是“發現”，因此對學生的創新精神和創新能力的培養具有重要的作用。事實上，數學發展史中的每一個重要的發現，除演繹推理外，合情推理也起著重要作用，如哥德巴赫猜想、費爾馬大定理的發現等。正因為合情推理對學生的學習和終身發展具有重要的作用，所以新課程改革把合情推理能力的培養作為一個加強的方面。

那么，我們應該怎樣培養學生的合情推理能力呢？

一、教師要轉變思想觀念，重視合情推理的教學

長期以來，中學數學教學一直強調數學的嚴謹性，過分渲染演繹推理的重要性而忽視了生動活潑的合情推理，使教師和學生誤認為數學就是一門純粹的演繹科學，凡是結論，都必須要證明，不能有“猜想”，不允許“可能”，這在很大程度上束縛了教師的思想，扼殺了學生的合情推理欲望，使師生不敢“越雷池一步”。基于此，當前首要的任務就是廣大教師要切實轉變思想觀念，認識到合情推理對學生數學學習和終身發展的重要性，從根本上重視合情推理的教學，具體做到認真鉆研教材，多看、多練，善于總結各種解決問題的方法；不斷加強自己的思維訓練，使自己具有較強的基本功；不斷探索培養學生合情推理能力的方法，總結經驗。這樣在平時的教學中才能積極創設條件，引導學生使用合情推理。

二、把合情推理的能力培養融合在各個知識領域的教學過程中

在“數與代數”、“空間與圖形”、統計與概率”、“實踐與綜合應用”四個領域都為學生發展合情推理能力提供了豐富的素材，以用字母表示數為例（包括大量的找規律的題目），需要依靠對具體的數的觀察、比較、歸納上升到字母的高度，實現從特殊到一般的飛躍，這個思維過程中，幾乎完全依靠合情推理；在空間與圖形部分，學生也常常要運用觀察、操作、猜想等各種合情推理的手段學習圖形的性質；用樣本估計整體實際上也屬于合情推理（這種推理屬于統計推理，與歸納推理和類比推理不同的是統計推理得到的結論無法用邏輯證明的方法檢驗，只能靠實踐來證實）……這就需要我們恰當設計，把突出問題放在“需要”與“認知結構”矛盾的風口浪尖上，激發學生進行合情推理的欲望和熱情；提供給學生足以探索的數學材料，合作交流的時間和空間，做好組織者、引導者、合作者；在課堂教學中，我們還應該重視學生的語言表達能力的培養，使學生能夠把“高度情境性”的內部語言轉化為數學語言，做到言之有理、落筆有據，“有條理地、清晰地闡述自己的觀點”。

三、把合情推理和現實生活有機結合起來

這里有兩層意思，一個意思是說，現實生活是豐富多彩的，其中有很多地方需要依靠合情推理來作出判斷，這樣的例子更容易激發學生合情推理的熱情。我們要把握好這些機會，因勢利導，提高學生的合情推理能力；第二個意思是說，學生在學習課本知識時，可以與生活經驗相結合，不斷把課本知識內化為自己的經驗。例如用生活經驗“一個人從A點出發，先向正東走5千米，又向正西走3千米，結果為向正東走了2千米”來解釋有理數的加法法則中“異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大絕對值減去較小的絕對值作為和的絕對值”等。

四、正確把握演繹推理和合情推理的關系，全面提升合情推理的質量

合情推理與演繹推理是相輔相成的，嚴格的數學推理以演繹推理為基礎，而數學結論的得出及其證明過程是靠合情推理才得以發現的，也就是說獲得數學結論時要經歷合情推理到演繹推理的過程。如果離開了合情推理，那么演繹推理就成為無源之水；如果離開了演繹推理，那么合情推理就成為無果之花。因此需要我們正確把握演繹推理與合情推理的關系，實現二者的和諧發展，不可偏廢。

1.要引導學生把合情推理和演繹推理有機結合起來。

從心理學的角度來看，當猜想得到一個答案后最希望的是得到印證，這就是說需要我們抓住機會，當學生由觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想后，應當引導學生進一步尋求證據、給出證明或舉出反例，發展學生的理性精神。比如在學習“對頂角相等”的性質時，我們可以先讓學生經歷觀察、度量、疊合、等方法后，得出對頂角相等的結論，然后可以要求學生給予證明（如下圖提示學生觀察∠1、∠2與∠3的關系），由∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3得出∠1=∠2。

這樣的過程，是一個經歷觀察、操作、猜想、證明的過程，其中既有合情推理，又有演繹推理，學生的學習由淺入深，符合認知規律，達到了提高推理品質、發展能力的目的。

2.通過實例讓學生理解證明的必要性。

學習是一種通過反復思考導致錯誤的緣由、逐漸消除錯誤的過程。然而要消除這些錯誤，需要有進行推理的認知能力。這些推理是通過自我調節過程而產生的，而不是通過記住別人所給的答案而發生的。應當通過具體例子，使學生認識到：由觀察、實驗、歸納、類比得到的命題，其正確性有待于確認，因而合乎邏輯的推理證明是必要的。看下面的問題：

如果a=b，那么a²=b²，由此類比猜想得出：當a＜b時，a²＜b²。你認為這個命題正確嗎？為什么？

學生可以通過舉反例說明上述命題是錯誤的。我們要有意識從生活、代數、幾何等多角度安排素材，通過讓學生不斷修正錯誤，來提高合情推理的水平，體會到證明的必要性，而且把學習演繹推理變成自覺的要求。

3.在學生驗證結論的過程時，要不斷提高驗證的要求、層次和水平。

例如：觀察下面各式：1+2=3，2+3=5，3+4=7，4+5=9……（1）你認為兩個連續自然數的和一定是奇數嗎？（2）你能驗證自己的結論嗎？這道題學生首先通過觀察由特殊上升到一般，歸納出兩個連續自然數的和是奇數，在驗證結論時出現了兩種方法：方法1：隨意再找幾組數進行實驗，例如，5+6=11，10+11=21，50+51=121，很容易看出這幾組數的和也是奇數，所以原來的結論是可信的。方法2：設兩個連續的自然數為n，n+1（n為自然數），因為n+（n+1）=2n+1，而2n+1表示奇數，所以兩個連續自然數的和是奇數。很顯然，第一種方法仍然屬于特殊與一般的關系，沒有走出不完全歸納法（合情推理），而第二種方法則屬于嚴格的證明，因此就層次性來看，第二種方法明顯高于第一種方法。但是，第一種方法更容易被學生理解和接受，是學生主動地“用實例對一些數學猜想作出檢驗，從而增加猜想的可信程度或推翻猜想”（《課程標準》第9頁），我們應當給予肯定和鼓勵。當然，在對學生肯定和鼓勵的同時，如果條件允許，就應該引導學生上升到演繹推理（即證明）的高度，提升學生的驗證層次和水平。當合情推理獲得的結果用演繹推理證明后，學生不僅會增強對合情推理的信心，同時會增強用演繹推理這種更為理性的方式來解釋結果的信心。

總之，在新課程改革不斷推進的大背景下，我們要不斷研究，把學生的合情推理能力的培養落到實處。

【責任編輯 姜華】