高中數學習題課“問題—探究”模式構建與實施

一、習題課中實施“問題—探究”教學模式的問題提出

隨著高中新課程改革的逐步展開，“問題—探究”教學模式作為一種新的教學模式，越來越顯現出積極的意義，它將實現教師教育方式、學生學習方式和課堂教學方式的全方位革新。目前，國內對“問題—探究”教學模式的研究情況是理論研究較多，教學實踐研究較少，并且大多數“問題—探究”教學模式的教學實踐研究也只是在新授課中進行。而習題課作為數學課不可缺少的課型，是以鞏固知識、訓練技能技巧、發展思維為主要任務。因此，從理論到實踐去研究在習題課中如何實施“問題—探究”教學模式是十分必要的。

二、“問題—探究”教學模式的含義及其實施意義

“問題—探究”教學模式是指根據教學內容及要求，由教師創設問題情境，以問題的發現、探究和解決來激發學生的求知欲、創造欲和主體意識，培養學生創新能力的一種教學模式。普通高中《數學課程標準》提出，數學教育要以有利于學生全面發展為中心，以提供有價值的數學和倡導有意義的學習方式為基本點。在此理念下，數學教學應是數學活動的過程。因此，“問題—探究”教學模式旨在著力體現新課程關于數學教學的基本理念，把現代理念與教育實踐有機結合起來，讓教師在教學過程中對相關要求有所遵循，改革傳統教學模式的弊端，更好地達成新課程期望的數學教育的目標。

三、習題課中實施“問題—探究”教學模式的操作程序

習題課對于學生思維能力的培養、知識的鞏固有重要作用，因此如何上好它，對每一位教師而言是一個值得不斷思考和探討的問題。筆者根據“問題—探究”教學模式的理論以及針對習題課的具體特點及要求，在教學實踐中不斷學習摸索，總結實驗，發現在習題課中按照基本程序：設問激趣→探究嘗試→合作交流→變式拓展→歸納小結來實施“問題—探究”教學模式，能收到較好的效果，不僅能夠提高學生的數學學習成績，而且能提高學生的學習興趣、拓展學生思路，培養學生的探究和創新意識。

四、習題課中實施“問題—探究”教學模式的教學案例

［課題］ 不等式證明

［目的］ 通過本課時的教學，使學生系統掌握不等式證明的三種常用方法和基本不等式及其運用，同時著力培養學生的邏輯推理論證能力，提高學生分析問題、解決問題的能力，借以發展學生的探究能力，并使學生在領會不等式的證明方法的同時，感受到數學的美妙，提高其數學素養。

［重點］ 培養學生的邏輯推理論證能力，使學生能針對具體問題，進行具體的分析，靈活運用各種證法。

［難點］ 綜合法證明不等式。

［方法］ 問題探究教學法

［過程］

1.提出問題，激發興趣

引言：同學們，我們已經學習了不等式證明的三種方法——比較法、綜合法和分析法。今天我們上一節習題課，來系統認識不等式的三種證明方法，提高同學們證明不等式的能力。（板書課題：不等式的證明）

你能用什么方法證明下面的不等式？

［評述］ 開門見山，讓學生明確學習目的，為新課指明方向。

[板書] 如果a，b∈R+，求證：a3+b3≥a2b+ab2。

［評述］提出問題讓學生思考，創設問題情境，激發學生學習欲望和要求，喚起學生對舊知識的回憶。習題課的重點是習題的處理，其中選題是重要環節，是教師備課的重點。精選例題要體現基礎知識應用、基本方法訓練、具有指導意義，凸顯針對性（認識誤區、解題失誤）、典型性（做一題、會一法、想一串，能歸納事物本質或解法規律）、多樣性（活化知識、提高能力，能體現一題多解、一題多變）。安排“小坡度、密臺階”的習題，有利于學生在“發現區”內解題，有利于學生“步步登高”，使學生感到“高而可攀”，由此調動學生做題的積極性，樹立學生解題的必勝信心。

2.探究嘗試，合作交流

（1）基本方法。

如何證明不等式呢？我們首先回憶不等式證明有哪些基本方法？

[板書] 比較法、分析法、綜合法（四個基本不等式）

分別由學生闡述三種證明方法，并給出各自的證明。教師評判并簡單小結。

［評述］ 通過教師啟發，讓學生逐步回憶所學知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成較系統和完整的知識結構。

（2）其他方法。

設問：除了上面的三種證明方法，還有其他證明方法嗎？

探究：調動學生積極開展討論，發表不同的觀點。教師可適時點撥。通過巡視，與學生一起總結證法。

3.變式引申，拓展思維

設問：你能改編原不等式，或對不等式進行一般化嗎？

（1）結論變化：已知a，b ∈R+，求證：2（a3+b3）≥（a+b)（a2+b2）。

已知a，b ∈R+，求證：4（a3+b3）≥（a+b)3。

（2）條件變化：已知a，b ∈R+，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2。

已知a，b ∈R+，a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2。

（3）冪次變化：已知a，b ∈R+，求證：a4+b4≥a3b+ab3。

已知a，b ∈R+，n為正整數，求證：an+1+bn+1≥anb+abn。

已知a，b ∈R+，m，n為正整數，求證:am+n+bm+n≥ambn+anbm。

（4）項數變化：已知a，b，c∈R+，且不全相等，求證：

2(a3+b3+c3）＞a2（b+c）+b2（c+a） +c2(a+b）。

已知 ai∈R+（i=1，2，…，n），n∈N+，求證：

n（a31+a32+…+a3n）≥（a1+a2+…+an）·（ a21+a22+…+a2n）。

［評述］ 變式拓展是深化知識十分有效的手段。變式引申，可使學生所學的知識得到鞏固與提高，創新能力也得到發展。變式拓展的目的是防止學生機械模仿，使學生練習的思維過程具有合理的梯度，逐步增加創造性因素。在習題課教學中，教師如果能夠經常引導學生在解題后再思考其結果所包含的意義，反思是否可將題設條件和結果進行引申和變換，設置變式拓展題目或題組，多角度運用知識，多途徑對技能方法進行練習，這將有助于學生把知識學活，有助于學生舉一反三、觸類旁通，有助于學生產生學習的“最佳動機”和激發學生的靈感，從而升華學生的思維，培養學生的創新意識。值得一提的是，變式拓展的題目，也同樣需要學生的探究活動。因此，模式結構中的探究嘗試、合作交流、變式拓展三大步驟組成了一個閉合回路，應根據教學條件靈活運用模式而不唯模式。

4.反饋矯正，練習鞏固

已知a，b，c∈R+，求證：ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）≥6abc。

［評述］ 在習題課的教學中教師要根據反饋練習，及時對學生的掌握情況進行了解。一方面教師及時在練習中獲得信息反饋，可以及時調整原來的教學進程；另一方面，教師也可以指導學生根據反饋信息調整自己的學習，幫助學生優化認知結構，調理問題解決的思維模式，使學生形成知識體系。

5.歸納小結，延伸提高

教師引導：

常用證法 比較法分析法綜合法基本不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R） ≥ （a，b∈R+）a3+b3+c3≥3abc（a，b∈R+） ≥ （a，b，c∈R+）

［評述］ 習題課的歸納小結，重在使知識納入系統，使方法得到提煉，使解題思路得以開闊。歸納小結既可由學生對本節習題課重點內容進行回顧、概括，亦可由教師對學生的奇思妙解進行鼓勵，對疏漏進行回授補償，還可在短短的結語中設置懸念，為后續教學埋下伏筆。

6.布置作業，重現知識

1．已知a，b∈R+，求證：(a+b）（a3+b3）≥（a2+b2）2。

［評述］ 習題課的結束肯定不能代表任務的完成，必須有目的、有計劃地安排一定程度的重現性作業，才能保證學生獲得牢固的知識和熟練的技能，但重現并不等同于機械重復。因此，課外設置變式習題，如同質異型題、同形異質題、逆向思維題進行思維訓練及等效實驗設計，進一步鞏固本課所學方法。

由此案例可以看出：在實施“問題—探究”教學模式的過程中，教師僅僅起了向導作用，教師設問引導學生探索、思考。學生也從一個接受者的角色轉化為一個探究者，通過思考、探究、討論、歸納、總結等活動方式，從自己的最近發展區去研究學習，從而建構了自己新的知識結構，提高了數學學習的探究能力，促進了數學思維的發展，同時為以后的學習和其他課程的學習培養了良好的素質。因此，在習題課中構建與實施“問題—探究”教學模式能夠進一步優化教學過程，提高高中數學課堂教學的有效性，培養學生的探究和創新意識。◆（作者單位：廣東省番禺中學）

□責任編輯：周瑜芽

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