用“情境＋問題串”引導數學課堂教學

摘 要：在新課程數學教育實驗中，如何精心設計“情境+問題串”，用問題引導學習，使教學過程適度開放、真正有效？“情境+問題串”是將情境和問題串的設計有機地結合起來，使問題情境在激發學習興趣、滲透數學文化的同時，指向數學核心思想的發生過程，成為學生探究核心問題的平臺。在這里設計好的“問題串”是關鍵，好的問題串能搭建起“適切”的“腳手架”，有利于突破核心思想教學的難點，“有意義”“適度”的問題串，能夠引導學生自主探究，并在過程中形成思想。

關鍵詞：情境+問題串；數學設計；課堂教學

中圖分類號：G632.4 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2008）02-0045-02

“情境+問題串”是將情境和問題串的教學設計有機地結合起來，使問題情境在激發學習興趣、滲透數學文化的同時，通過問題串指向數學核心思想的發生發展過程。好的“情境+問題串”是學生探究核心問題的一個平臺，能使得教學過程適度開放、真正有效。

案例 1．棋盤上的麥粒數與等比數列求和公式推導。

問題1：國王與棋盤上的麥粒數。

國際象棋起源于古代印度。相傳國王要獎賞國際象棋的發明者，問他想要什么。發明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，依此類推，每個格子里放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到第64個格子，能滿足我的要求嗎?”國王一聽笑了，心想幾粒麥子加起來不過一小袋，就說把棋盤每格子里的麥粒數加倍給你吧。

（1）假設原來已經在棋盤上放好麥粒，國王將賞賜加倍后是不是要重新放過？為什么？國王一共需要準備多少粒麥粒？比發明者原來的要求多多少？

（2）你能將解決上述問題的算法推廣，求出等比數列前n項的和嗎？試試看，把你得到的結論寫下來。

（3）反思公式的證明過程？說說什么樣的數列能錯位相減求和，為什么？

設計意圖：用國王與棋盤上的麥粒數的故事創設問題情景，引入等比數列求和的主題，同時引起學生對求和的好奇心，喚起學生的求知欲望。設計問題（1）的意圖在于提供的一個“樣本例”（generic examples）（如圖1），

2S₆₄＝ 2＋22＋23＋……＋2⁶³＋2⁶⁴

S₆₄＝1＋ 2＋22＋23＋……＋2⁶³

圖1

使學生非常容易“發現”“錯位相等”，為求“比發明者原來的要求多多少？”自然地想到“錯位相減”，從而揭示錯位相減法求和的基本原理。在此基礎上，設計問題（2）的意圖是讓學生從特殊到一般，將解決問題的方法推廣到一般情況。問題（3）的意圖是讓學生通過反思推導過程，領悟 “錯位相等”“錯位相消”邏輯關系，進一步理解等比數列求和的核心思想。

案例2：繩子和細棒的游戲與零點存在定理的確認。

問題2：繩子和細棒游戲。

如圖2，給你一條線繩子和一條細棒（記細線的兩個端點為A和B），請你動手試試。

（1）探究在什么樣的條件下，能夠保證這條繩子和給定的細棒一定有交點？

（2）如果把上述給你的一條細棒看成是軸，一條繩子看成是函數的圖象，請你將上述（1）中的結論數學地表示出來嗎？

（3）如果繩子的兩端在細棒同側（異側），你能發現繩子和給定的細棒的交點有幾個？有什么規律？請你將結論數學地表示出來？

（4）在什么樣的條件下，繩子和給定的細棒有且僅有一個交點？

（5）根據“繩子和細棒”的結論，考察y=x⁴+2x³-2x²-2x的圖象（《幾何畫板》），驗證、確認結論的正確性。

設計意圖：用繩子和細棒游戲，讓學生經歷操作、感知、發現、體驗、確認的過程。設計的問題（1）意圖是通過操作去發現當點A和B在細棒的兩側時一定有交點，問題（2）的意圖是通過類比、歸納出零點存在定理，學會圖象特征、自然語言和符號語言之間的互相轉化，學會數學化，問題（3）的意圖是讓學生通過探究繩子兩端在細棒同側（異側）位置與繩子和細棒的交點個數規律，進一步辨析區間兩端函數值符號變化與函數圖象零點變化之間聯系，加深對零點存在定理的理解，問題（4）的意圖是探究發現增加單調函數的條件，零點唯一，問題（5）的意圖是通過具體的函數圖象，觀察、體驗、辨析、確認零點存在定理。

“情境+問題串”的教學設計，在情境中有機地融人了“問題串”，使其具有情境和問題的雙重性，既在趣味的、現實的情境基礎上，更注重它的問題性、指向性、適切性、探究性和有效性。章建躍認為“有效的教學情境是與當前學習任務相關的、能反映當前學習內容本質的。”在這里“情境+問題串”的設計，要為引入主題、激發起興趣服務，要為揭示公式、定理的推導過程服務，要為揭示數學核心概念、核心思想服務。“棋盤上的麥粒數與等比數列求和公式推導”“繩子和細棒的游戲與零點存在定理的確認”的設計，將數學史料故事、動手游戲和問題串有機地結合起來，使之在引出主題的同時，指向數學核心思想的發生過程，成為學生探究核心問題的平臺。

在情境的基礎上精心設計 “問題串”，利用它搭建“適切”的“腳手架”能比較好地突破數學核心思想教學的難點。等比數列求和公式的推導，難點是怎樣選擇“適切”的教學方法，引導學生去發現和揭示“錯位相減法”。這里我們在課本故事的改編的基礎上，設置了3個問題，這組“問題串”由淺入深、層層遞進，從3個不同層面上，讓學生經歷了對原理、思想的發現、揭示和理解過程。公式推導的困難在于學生習慣于通常的求和方法，很難想到“錯位相減”求和，教師也很難用其它方式誘導，我們通過遞進的“問題串”，用從特殊到一般的思想方法，設計第（1）個問題在于提供一個“樣本例”，把問題變得特殊化、具體化、簡單化，而解決“樣本例”所提問題的過程實質上是揭示了錯位相減法的基本原理的過程，使學生比較容易、自然地發現。對于零點存在定理的教學，新課程的教學不需要求證明，教學的困難在于高一學生對定理發生過程中蘊涵著的數學思想方法，接觸不多、感覺不深、意識不能自覺，因此教學時需要反復感知、操作、發現、確認。“問題串”的5個問題，一步一步、環環相扣、由淺入深，在“最近發展區”讓學生“跳一跳”摘到了桃子，這樣比較有效地既突出了重點，又解決了難點。這樣的過程也與荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾所倡導的“再創造”的教育思想是一致的。

設計好的“情境+問題串”，使之成為一個探究的平臺，是引導學生自主探究學習的一種行之有效的方法。章建躍認為“教與學的方法的改革，核心是如何在接受式學習中融入問題解決的成分，使得講授式教學與活動式教學有機結合，以保證學生在獲得必要的數學“雙基”的過程中，發展創新精神和實踐能力。當前重點是如何使活動式教學真正有效，如何設法在學生學習中融入問題解決的成分，“問題串”是一種行之有效的方法。”在這里問題串的設計要反映當前學習內容本質，要根據教材內容和學生實際把握好問題的“度”，使學生處于“跳一跳摘果子”的狀態，達到“道而弗牽，強而弗抑，開而費達”的境界。等比數列求和公式推導中的“問題串”設計采用了“樣本例”到“你能將解決上述問題的算法推廣嗎？”零點存在定理的教學中采用了“你將上述（1）中發現的結論數學地表示出來嗎？”這樣的處理都是既“有意義”又非常“適度”。

“情境+問題串”的設計既要突出重點，抓住數學核心概念和思想方法，又要保證教學過程的開放性，使學生有廣闊的、獨立的數學思維空間，有機會經過自己的獨立思考獲得對數學知識的理解。這里”問題串”中的“試試看”，“你能將上述遞推關系推廣到一般情況嗎？”“試將這種方法和你所用的推導方法進行比較”“你能發現繩子和給定的細棒的交點有幾個？有什么規律？”“請你將結論數學地表示出來？”“探究在什么條件下……？”等等設問保證了過程的適度開放。

參考文獻：

[1]汪曉勤，張小明.HPM的實踐與若干啟示[J].中學數學教學參考（高中），2006，1～2.

[2]章建躍.高中數學新課程教學的若干建議[J].中學數學教學參考（高中），2006，3.

【責任編輯 姜華】