《高等數學》中定理教學方法的探索

摘要：定理及其證明是《高等數學》教學中很重要的一部分內容，本文在分析定理教學現狀和問題的基礎上，闡述了一種定理教學的系統方法。

關鍵詞：定理證明；數學教學；教學方法

一、《高等數學》中定理教學的重要性

《高等數學》是高校中普遍開設的重要基礎課程。本課程的教學內容中包含了經典的微積分重要定理。每個定理在數學發展史上都是一個階段性成果，這些定理作為重要銜接點將數學發展史串聯成一個連續整體。同時，定理的證明方法也是人們長期研究的優秀成果。定理的產生過程及其證明方法常常反映出解決數學問題甚至解決一般問題的思想與方法，利用這些思想與方法，不僅能解決類似問題，而且還能解決不同類型的問題。

《高等數學》中的定理教學不但可以幫助學生深入學習概念，建立知識體系的聯系并使之系統化，而且可以培養學生的分析能力、概括能力和創造能力。定理的證明過程可以幫助學生更透徹地領會教學內容所涵蓋的基本數學思想，是幫助學生全面系統地掌握數學知識必不可少的環節。

二、定理教學方法現狀及其問題分析

《高等數學》作為高校的一門基礎課，開設面廣，涉及的教師多，每位教師對定理的教學方法都有所不同。從總體上看，定理教學有以下幾種方式：

1.教材閱讀式。教師在課堂上講解定理時，把教材作為唯一依據，備課時盡最大可能記住定理內容及其證明過程，課堂上，再背誦給學生。學生能否接受，接受效果如何，全看教師抑揚頓挫的水平和學生的悟性高低。這種教學方式只是按教材編排前后次序將教材上的文字性內容轉為有節奏的聲音材料，對學生領會定理內容及其證明方法沒有什么指導價值。教師沒有帶動起學生思考問題、分析問題的興趣。學生只是被動地記憶一些表面東西。這種做法看似完整地傳達了教學內容，但學生接受效果不佳，教師完成教學任務是以學生掌握知識為原則，因此這種做法不值得提倡。

2.只重結論式。教師直接告訴學生定理的使用條件以及使用方法，忽略對定理產生過程的介紹，跳過證明分析過程。教師要求學生象背誦英語單詞一樣記住定理結論或公式，在教學過程中為使學生能夠盡可能熟練地使用定理結論，不惜花費大量時間精力收集各種各樣的例題，讓學生模仿解答類似題目。這種教學方式的結果是：學生能夠大膽使用定理，只要找到符合的例題，能快速準確地解題。存在的問題是經常出現濫用、亂用定理的現象；同時，條件稍加變化學生就不知所措。這是一種不問過去和未來，只重現在的做法。對于非數學專業的學生，《高等數學》是作為一門基礎課、工具課開設，只重結論式的教法雖有其可提倡之處，但其對于深化學習內容，靈活運用結論也存在很大弊端。

3.面面俱到式。教師對教材涉及的定理盡可能給出多種證明方法，讓學生“欣賞”。雖然，這樣可以豐富學生的知識面；但此類做法也常使學生抓不住要點，學習任務由此加大很多。這種做法看似全面，但沒有抓住定理教學的精髓，是重量不重質的做法。

4.避重就輕式。教師對于簡單的定理細致講解證明過程(事實上是以解釋教材為主，就定理學定理)；對于難度較大的定理，則多強調應用而避開定理證明的方法。這種做法對教師來說省時省力，也基本不影響學生解題；對學生來說，首先省時省力，更重要的是重點突出。但這種做法讓學生誤認為定理只是概念的淺層延伸，是為了實際應用而引出的概念之間的聯系，從而忽視了對知識體系的逐步整合與升華，失去了借助定理學習培養各種數學思維能力的機會。教師對定理學習的要求也只是局限于定理的應用及應用時的注意事項。同時，學期末的學習效果考核體系中缺乏對定理理解及證明考查的試題，從而也會誤導學生對定理學習重要性的認識。

這些教學方式導致學生對定理及其證明方法的認識不足。首先，大多數學生從思想上認識不到學習定理的重要性，情感上不愿意下功夫學習，方法上不懂得如何學習。其次，在學習過程中，沒有先前知識的積奠，沒做好構建新知識的準備工作。最后，不能在發展過程中學習，不知道定理本身與前后內容間的聯系。因此，在數學定理教學中有必要探索更加科學的教學方法。

三、筆者的嘗試與探索

要解決上述問題，除耐心指導學生學習與定理相關的預備知識之外，還需要一些技巧幫助學生更好地掌握定理。依據一定的思路教授和學習定理，對學習過程會帶來便捷，同時也可以收到較好的學習效果。筆者在教學和學習過程中不斷總結得到幾點經驗，現按照學習定理的步驟分述如下：

第一，略讀定理及證明過程。首先，通過這一步驟使得學生對定理的條件和結論有個初步了解，使學生清楚定理要解決什么樣的問題，證明過程要依據學習過的哪些內容，以及證明過程采用的宏觀方法(如：反證法，歸納法，構造法，作圖法等)。教師可以用通俗易懂的鮮活的實例來反映定理的思想精髓，幫助學生從已有的知識或常識切入定理。例如，Lagrainge中值定理(以下簡稱L中值定理)的引入，可以設想一段光滑的鋼管，讓學生觀察，鋼管兩端點的連線和某個轉折點處切線的關系。學生會發現它們的平行關系，教師進而引導學生把光滑的鋼管抽象成光滑的曲線，并用數學形式描述“光滑的曲線”。學生會根據剛剛學習的連續及可導給出兩個條件。當然對于L中值定理條件中的“閉區間上連續，開區間內可導”，此時不必要求那么嚴格，可以直接使用“閉區間上連續，閉區間上可導”。再用數學形式描述結論，即“兩端點連線與中間某點的切線平行”。可以看到在中值定理證明的過程中采用了構造輔助函數的方法。另外，對有些更加抽象的定理，可直接看定理，就“定理看定理”。例如，格林公式的結論，形式上看只是二重積分與曲線積分的轉換，而條件只有兩條：“邊界曲線分段光滑，函數P(x，y)，Q(x，y)具有一階連續偏導”，因此，可直接閱讀定理證明過程。

第二，逐條分析定理條件。閱讀定理，分清定理條件與結論，并把條件理清頭緒。依據已有的知識，對每個條件分析條件中包含概念的定義、充要條件、必要條件等。例如，L中值定理講授中，條件與結論已經非常清晰地展示出來。列出的條件有兩條：第一，函數f(x)在[a，b]上連續；第二，函數f(x)在(a，b)內可導。我們分析：由條件一可知，函數f(x)在[a，b]上取值連續；函數f(x)在[a，b]上任意一點處極限值等于函數值；函數f(x)在[a，b]上存在最值；函數f(x)在[a，b]上有界等等。當然，學習者要不斷學習、不斷總結，只有這樣才可能在需要的時候已有知識才能信手拈來。這個步驟初做起來會覺得很費力氣，尤其是所有條件要逐條分析其相應的判斷、結論。事實上，當我們習慣于這種方法后，這個過程只是謹慎的一閃念的過程。

第三，仔細閱讀定理證明過程，注意每個條件在證明中的使用。這個過程的學習是需要很用心思的。教師要引導學生本著耐心細致的原則認真鉆研。首先要注意條件在證明過程中的展開形式，其次要注意它在證明中和其他條件的結合以及步與步之間的邏輯推理過程。

第四，通觀整個證明過程分幾大步驟。如果說第三步的工作是細致的、瑣碎的，這一步就是整合的、宏觀的。經過第三步的學習，證明過程中步與步之間的推理已可以確認沒有問題，但總的指導思路還要再次回到證明過程。整個過程，按證明步驟分段，標出每一段要完成的結論，再把這些小結論連貫起來就是證明定理的總體思路。這一步驟從宏觀上給了我們一種解決問題的一般方法，對我們解決其他問題有很大的借鑒意義。

第五，回味定理。筆者認為這個過程是相當重要的，它使得新舊知識得以融會貫通，使得知識得到及時的系統化和邏輯化，此步驟是定理學習呈良性循環不可缺少的環節。

首先，分析條件在證明中的必要性，考慮當條件如何改變時結論不成立而如何改變時依然成立。特別是對經常遇到的條件類型，分析結論是否成立(例如初等函數、連續函數、可導函數等)。在教學中首先要強調在常見條件下使用定理；其次，當學生基本掌握定理的精髓之后再回頭注意如什么情況下不能使用該結論等細節問題。例如，高斯公式的使用：教師需要首先強調通常情況下對于在定義區域內的初等函數滿足“具有一階連續偏導”這個條件，可直接進行三重積分和第二類曲面積分的轉換計算。同時，也要強調當函數之一不滿足這個條件時，不妨設“函數在一點處不連續”，這時不能直接使用該定理，可采用“挖去不適合點”的做法?！巴谌ゲ贿m合點”是學生學習中很容易忽視的地方，而這種做法正是處理該類問題的常用方法。最后，對有些結論還要掌握證明過程所涵蓋的方法以及證明過程中包含的“小結論”。例如，L中值定理的證明中，輔助函數的構造方法在中值定理部分普遍使用；再如，格林公式