分式中的典型題評析

分式是初中數學中的重要知識點，也是中考命題的熱點.現舉幾例典型題，探討其求解思路.

例1實數m、n滿足什么條件時，分式的值為0?

分析：只滿足分子m－2n=0這一條件顯然是片面的，要研究一個分式應首先要求分式有意義，即分母不為0，所以應滿足m=2n，且m≠n.但“m=2n且m≠n”是不是最精煉的表達呢？條件“m=2n且m≠n”可轉化成2n≠n，因而此題必須滿足的條件為“m=2n且n≠0”.

例2計算÷（m＋２－）.

分析：分式的運算離不開因式分解，為便于正確運算，要盡可能使分式的分子、分母最高項系數為正.此題中，整式m+2可看成分母為1，進行通分.

解：原式＝÷［－］

＝－÷

＝－×

＝－.

例3k為何值時，方程－４＝會產生增根？

分析：理解分式方程增根的意義.分式方程轉化成整式方程后求得的根使原分式方程的公分母為零，這種根叫做原方程的增根.此類題目的解題策略為：(一)將分式方程轉化為整式方程；(二)使最簡公分母為0，找到增根；(三)增根代入化好的整式方程求出k值.

解：去分母得整式方程：－x－4(x－3)=k.令最簡公分母x－3=0，x=3為原分式方程的增根，

∴ x=3為－x－4(x－3)=k的根，解得k=－3.

當k=－3時方程－４＝會產生增根.

例4解分式方程：１－＝.

分析：與解一元一次方程的步驟類似，只增加了檢驗這一步.去分母時要注意常數項不能漏乘最簡公分母.

解：方程兩邊同乘以最簡公分母(x+2)(x－2)得：

(x+2)(x－2)－(x－14)=(x－2)2

x2－4－x+14=x2－4x+4

3x=－6

x=－2.

檢驗：把x=－2代入(x+2)(x－2)=0，∴ x=－2為原方程的增根.∴原方程無解.

例5甲、乙兩人同去一家糧店購買兩次大米，兩次大米的價格有變化，他們兩人購買的方式也不相同，其中甲每次購買50千克的大米，乙每次購買50元的大米.問這兩種買米方式，誰的購買方式更合算？

解析：要知道何種購買方式更合算，需比較他們各人平均每千克大米花了多少錢，當然單價越低越合算.

設兩次購買的大米單價分別為x元/千克和y元/千克 (x>0，y>0且x≠y)，

甲兩次購買大米的平均單價為＝(元/千克)，

乙兩次購買大米的平均單價為＝＝(元/千克)，

甲、乙所購大米的平均單價的差是

-＝-＝=.

∵ x、y是正數且x≠y，∴＞０，

∴-＞０，∴＞，

∴乙的購買方式更合算.

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