讓“動手操作”閃耀數學思想的光輝

對平行四邊形面積計算公式的推導教學，我們一般都要讓學生學會“動手操作”，即將平行四邊形通過“割補”成長方形，進而分析兩種圖形之間的面積與長高關系，得出平行四邊形面積計算公式。但為什么要“動手操作”，怎樣“動手操作”，不同的思想自然有著不同的設計。有人說，操作活動是為了實現“轉化”的思想?？伞稗D化”的思想又從哪里來?平行四邊形面積的計算僅僅需要“轉化”思想嗎?顯然這樣的想法未免過于“功利”。對此，我結合平行四邊形面積計算的教學做了淺顯的探索。

學具準備：

學具1：每人5cm和4cm長的小棒各2根。

學具2：每人長5cm、寬4cm的長方形紙片1張，鄰邊為5cm和4cm的平行四邊形紙片1張。

一、提出問題

1．嘗試圍平行四邊形。

師：為方便同學們的研究，老師為大家提供了一些小棒(學具1)，你們能選出合適的小棒圍成一個平行四邊形嗎?試試看!

師：圍好后請同座間相互比較一下，你們圍成的平行四邊形的形狀一樣嗎?使用的材料一樣嗎?

師：老師也圍了一些圖形，請大家仔細觀察!

課件呈現：

(學生的操作活動未必能全面展示各種情況，尤其是長方形這一重要的特殊平行四邊形的出示，往往是學生認識上的漏洞。)

2．明確問題。

師：比一比，這里的4個平行四邊形(長方形也是特殊的平行四邊形)，和你們一樣也是使用5era和4era的小棒各兩根，但圍成的形狀都不相同。那它們的面積會不會相等呢?(課件閃爍涂色部分) 。(預設：A：學生認為面積相等，因為所圍成的材料是相同的。B：學生認為不等，因為形狀不同。)

師：它們的面積到底等不等呢?也許你們從下面的實驗會有新的看法(電腦演示將長方形框架逐漸變形的過程)

師：大家閉上眼睛想象一下，如果一直拉下去，長方形最后會變成一個什么圖形?通過觀察和想象，有什么發現?

(平行四邊形面積逐漸變小，直至為0；原來的長方形圖形的面積最大……)

師：用同樣的小棒圍成的圖形形狀發生變化，面積也發生著變化，當由組成原來長方形的4根小棒最后重合在一起的時候，我們可以說它的面積變成最小。但是到這兒還只是我們的一種感覺?；蛘哒f是猜想。有沒有什么辦法來證實一下它們的面積確實存在大小不同的事實呢?

(通過平行四邊形的變形演示，使學生清楚地看出隨著形狀的改變面積也隨之發生著變化。這一活動的安排，既是對學生原有的認知經驗的糾正，從感性上認識到圖形的變化所帶來面積大小的真切變化。同時也為后面的動手實踐活動奠定理性思維的基礎和動機，激起學生探究其中的深層原因。)

二、探究問題

1．從特殊入手。

師：為方便我們研究。我們選取其中①號和④號兩個圖形：一個長方形，一個平行四邊形，并將它們重疊。課件出示圖形如右。

師：從前面的變形中，我們感覺到長方形的面積應該比平行四邊形面積大些，但這樣看能比出大小嗎?看來需要我們對上面的圖形做些“手術”，你們覺得怎樣剪剪拼拼，就能比出大小來?請大家也拿出學具2，小組之間討論討論，再動手剪剪拼拼，看誰能想出辦法。拿出讓人信服的證據?

(這里我設計了兩個層次的操作活動，讓學生從“如何解決面積大小的比較問題”的現實需要出發，努力調動學生原有的知識和經驗，觸動學生思維的聯結點，凸顯“轉化”的動因，使得“平行四邊形怎樣轉化就可以求得面積”成為學生自覺的和富有創造性的追求，從而實現學生對平行四邊形面積的計算問題含有較高的“數學思維價值”。)

案例分析：

我們知道，數學觀念、思想和方法是數學科學的重要組成部分，是數學科學的“靈魂”，在促進學生的發展中具有決定性的作用。不僅僅在于學生掌握了它便能更加透徹地理解數學知識，還在于它具有很大的智力價值，是培養學生創造精神和創造力的有效途徑。學生在學習平行四邊形面積的計算中，“動手操作”顯然是必要的手段之一。如何讓他們外顯的“動手操作”體現出他們內爍的數學思維光彩，本設計著力在以下幾方面開展引領活動：

1．“用小棒圍平行四邊形”：對“變”與“不變”的大膽質疑。

比較邊長分別相等的平行四邊形和長方形圖形的面積大小，一般的教學設計常常安排在教學的最后環節。但這個問題又常常易引起學生的思維混亂。原因是這里的變(面積、形狀變化)和不變(四條邊長度不變)與平行四邊形面積計算公式推導過程中的變(形狀變化)和不變(面積不變)對學生的學習心理產生沖突(認知負遷移作用)，顯然這樣的設計割裂了兩種變化關系，造成學生對“變”與“不變”的片面理解。本設計中，筆者試圖跳出常規，努力從知識的整體高度來全面準確地把握兩種變化關系，從“用小棒圍平行四邊形”來引入并暴露學生真實的思維活動，將前者的變化作為后者變化的前奏，逐步明確問題。使學生對平行四邊形和長方形之間兩種變化關系的理解實現有序統一。

2．“觀察長方形框架逐漸變形”：對“極限”的無限遐想。

面對“變”和“不變”的爭議，這里及時地演示“長方形框架逐漸變形”的實驗，可以促使學生直觀地感受“變”的真實，產生“一直拉下去面積越來越小直至為零”的“極限遐想”，推動學生換一個思維角度來重新看待平行四邊形面積問題，為后面的理性探究活動指明方向。

3．“從特殊入手動手剪剪拼拼”：對“轉化”的自覺追求。

“轉化”是平行四邊形面積公式推導的核心思想。但讓學生獨立地想到“轉化”，應該說是很困難的。因此我恰當地為學生提供了一個問題情境：選取其中①號和④號兩個特殊圖形引導學生思考“覺得怎樣剪剪拼拼就能比出大小來”，努力凸現出“轉化”的動因。我認為，這里怎樣“轉化”的細節并不重要，重要的是學生怎樣想到用“轉化”的思想來解決問題。顯然?！皢栴}解決”應當是我們“動手操作”的價值所在。因此在教學設計時我們有時不必要拘泥于所謂的規范，超越它們才有可能使我們的學生變得更加富有創造性。

4．“類推其他平行四邊形割補過程”：對“特殊化歸為一般”的深刻體會。

思維的發展不總是以外顯的動作來體現的，更多的是需要靜靜的思考以實現內在思維的轉換。因此。在解決了特例問題后，我設計了“類推其他平行四邊形割補過程”，讓學生學會默默想象，并通過“規范”的電腦動作來準確引導動作思維的走向，促使學生在“特殊化歸為一般”的深刻體會中逐步內化自己的思維方式，將對數學思想方法的認識上升為數學思維策略，從而實現學生的思維活動內涵的提升。