例談數學問題解決的過程訓練

數學教育在于使學生在學習的過程中形成良好的數學素養(yǎng)，并能借助這些素養(yǎng)，來解決他們在生活和工作中遇到的數學問題，也就是要讓學生運用“數學化”的思維習慣去描述、分析、解決問題。教師在具體的教學中，應收集并提供一些源于實際的學科知識素材，創(chuàng)設一定的問題的情境，引導學生以數學的眼光，從現實生活中發(fā)現問題和提出問題，并探索出解問題的有效方法和策略，這樣才能真正體現出數學的價值。

對學生數學問題解決能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而是一個循序漸進的過程。依據學生解決問題的過程來進行分解或整合訓練，是較為有效的訓練方式。布朗斯福特和斯特恩的五步問題解決過程包括：問題識別、問題表征、策略選擇、策略應用、結果評價：而著名心理學家斯騰伯格提出的問題解決過程包括六個步驟：問題的確認、問題的定義、問題解決策略的形成、問題的表征、資源的分配以及監(jiān)控和評估。筆者認為，小學生問題解決的過程可以具體表達為這幾步：數學問題的識別、信息的收集和整理、解決方法和策略的尋找、解決過程的正確表達、解決問題的反思和評價。

筆者在對本市的一些小學數學教學質量調研中發(fā)現，由于教師只是籠統(tǒng)地關注了題目是否做對，而沒有在教學中對解決問題的過程進行比較細致的專項訓練，使得學生解決實際問題的能力提高不快。事實上，教師在教學過程中，特別是在解決實際問題的教學中，要根據不同年段教材的特點，根據不同發(fā)展時期學生認知的規(guī)律，有意識地對學生進行單項或綜合訓練，從而真正提高學生解決實際問題的能力。

一、數學問題的識別

數學問題的識別是指學生能透過具體情景。意識到自己正面臨著一個數學問題。只有意識到數學問題的存在、是什么數學問題，才有可能去著手解決問題，這是解決問題的起點，也是解決問題的一個十分重要的步驟。同時，我們還要對數學問題進行必要的識別，識別出各類問題的特征，為后續(xù)解決問題作好最初的準備。

例1 體育運動中心新建一個長方形的游泳池，游泳池的長50米，寬20米，深1.8米。問：(1)這個游泳池的占地面積是多少?(2)如果給游泳池內壁貼邊長為4分米的瓷磚，大約需要多少塊?(3)小明測了一下，水面距池口有20厘米，池中大約放了多少水?(六年級)

從題目來看，除了第一個問題是具體的數學問題外，后面兩個問題都是生活問題，這就要求學生會用數學的眼光來分析，善于將生活問題轉化為數學問題。第二個問題實際上和求長方體的表面積有關，因為貼瓷磚的是游泳池，所以根據生活常識可以知道，所貼的應該是這個長方體除了上面以外的五個面：第三個問題與求長方體的體積有關。只有正確識別了問題，才能合理思考和解答。

問題意識不僅體現了個體思維品質的活躍性和深刻性，也反映了思維的獨立性和創(chuàng)造性。強烈的問題意識，作為思維的動力，可以促使學生去發(fā)現問題并解決問題，乃至進行新的發(fā)現與創(chuàng)新。

在數學教學過程中，教師要針對學生的問題意識進行經常性的訓練，促使學生用數學的眼光來看待生活中的一些問題和現象，同時能將很多生活中的實際問題“翻譯”成數學問題。

二、信息的收集和整理

當學生一旦意識到需要解決的問題后，首先要知道擁有哪些信息，再根據問題來分析哪些是解決問題的有效信息。實際上，學生收集信息和整理信息的過程。也就是學生思考問題、分析問題的過程。教師要有意識地讓學生找找問題中哪些是相關聯(lián)的數量，想想這些相關聯(lián)的數量可以解決什么問題，或者根據問題思考，運用哪些相關聯(lián)的數量可以解答這個問題。

數學信息收集和整理的過程也是學生思考、整理、加工、排除干擾因素的過程。學生通過分析、綜合、判斷、推理等，可以為有序地解決問題做好充分的準備。

例2 小亮每天的生活很有規(guī)律。左圖是他每天上床睡覺和起床的時間。他每天大約有幾分之幾的時間處于睡眠狀態(tài)?(五年級)

從文字敘述中，只能看見需要解決的問題，而看不見解決問題應該具備的條件，但從配套的圖中可以發(fā)現，小亮每天睡覺的時間是晚上九時到次日早晨六時，利用這一條件可以解決小亮睡眠的時間。題目中雖然沒有說明一天有24時，但這一條件學生根據生活經驗應該知道。這樣，通過對題中相關信息的收集和整理，通過利用日常生活的經驗，來完善解決問題所需要的相關條件，問題就迎刃而解了。

教師要引導學生根據數學問題來確定需要哪些信息。數學信息收集的途徑很多，可以通過從文字敘述中來收集，可以從配套圖例中來尋找，可以從題中提供的圖表中摘錄，也可以借助生活經驗來補充，等等。

例3 從甲地到乙地，上坡路占2/7，平坦路占4/7，其余的是下坡路。一輛汽車在甲乙兩地往返一次，共行下坡路42千米。甲乙兩地的路程是多少千米?(六年級)

題中已經知道下坡路在往返的過程中一共行了42千米，要求甲乙兩地的路程，可以利用已知的路程和它所對應的分率來解答。畫出簡易草圖，我們很容易看出，汽車從甲地到乙地時，下坡路行了1/7，返回時，原來的上坡路就是下坡路，也就是返回時下坡路行了2/7，這樣，通過對信息的整理，很容易就找到了對應關系，問題的解答就容易了。

教師要引導學生掌握科學的整理方法，讓學生能根據具體的問題選擇不同整理信息的方法(如：摘錄條件，給條件排序，列表，畫草圖或線段圖，等等)，并在整理信息的同時分析數量之間的關系。

三、解決方法和策略的尋找

問題解決的方法和策略是多種多樣的。不同的問題，會因為問題的內容和性質的不同，出現不同的方法和策略；同一個問題，也會因為學生知識背景的不同、智能發(fā)展的差異，出現各種不同的解決問題的方法和策略。為此，教師要引導學生根據具體的問題進行全面分析，只有把握了具體情景中的問題，才能選擇合理的、優(yōu)化的解決問題的方法和策略。

例4 旅行社有甲、乙兩種面包車，甲車可乘12人，每輛租金為120元；乙車可乘18人，每輛租金160元。旅行團有58人，怎樣租車最省錢?(四年級)

了解了這道題的信息后，我們發(fā)現，依靠日常的數量之間的關系很難解決，必須進行分析，來確定解決問題的方法。要使得用的錢最省，無非要考慮兩個因素：一是要盡可能租單價低的車輛，二是要盡可能使每輛車坐最多的人。從這兩點深入研究，我們可以知道，乙車的單價比較便宜，所以應盡可能租用乙車，根據總人數是58人。可以知道乙最多租4輛，這樣的話，共需160×4=640元；如果租3輛乙車，余下的人數還需1輛甲車，共需160×3+120=600元；如果乙車租2輛，余下的人數還要租2輛甲車，共需160×2+120×2=560元：如果乙車租1輛，余下的人數還要租4輛甲車，共需160+120×4=640元；如果全租甲車，則需要5輛甲車，共需120×5=600元。因此，租2輛甲車和2輛乙車最省錢。

從這道題的思考過程來看，我們首先要確定解答問題的方向和突破口，確定從哪里人手最容易把握，然后在一定的范圍內進行列舉，再對各種方案進行比較，篩選出比較好的解決問題的方案。

教師在實際教學中要給學生滲透一些數學思想，如：符號思想、化歸思想、對應思想、模型思想、轉換思想等等；同時也要教給學生一些數學方法，如：觀察與實驗、演繹與歸納、比較與分類、分析與綜合、抽象與概括、類比與映射、猜想與聯(lián)想等等。鼓勵學生從多角度分析、思考問題，尋找不同的解題方法和策略，從而提高學生解決問題的能力。

四、解決過程的正確表達

數學課程標準在“解決問題”教學目標中強調：要讓學生“能表達解決問題的過程。并嘗試解釋所得的結果”。德國也在數學教學的分類學習目標中提出：“運用數學方法表述某些客觀環(huán)境現象的能力，即認識、發(fā)現客觀外界中事物的數學關系。并用數學語言表述這種關系。”由此可見，能用簡單的數學語言有層次地表達思考問題的過程與結果，是培養(yǎng)學生解決問題能力的一個重要方面。

很多學生在數學解題時，解題格式不規(guī)范，很少有必要的文字說明，或對出現的數學量符號不作交代，等等，都會導致解題過程思路混亂和錯誤。為此，教師要有意識地引導學生學會用簡明、準確的數學語言來表述有關數學問題。

例5 下表的粗線框中兩個數的和是3。在表中移動這個框。可以使每次框出的兩個數的和各不相同。

(1)一共可以得到多少個不同的和?

(2)如果每次框出3個數，一共可以得到多少個不同的和?

(3)如果每次框出4個數、5個數呢?再試著框一框。看看分別能得到多少個不同的和?

(4)你能發(fā)現什么規(guī)律?(五年級)

十個數，每次框出2個數從左往右依次移動粗線框，可以移動8次，得到(8+1)個不同的和。

十個數。每次框出3個數從左往右依次移動粗線框，可以移動7次，得到(7+1)個不同的和。

十個數，每次框出4個數從左往右依次移動粗線框，可以移動6次，得到(6+1)個不同的和。

用文字表達的話，既煩瑣也不能很快看出規(guī)律。如果用表格來表達的話，通過比較能很快發(fā)現規(guī)律。

在解答問題的過程中，有時不是都能用算式等來表示出問題思考的過程和結果的，有時也可能需要借助列表、畫圖、列舉、文字敘述等方式來表達的，只要能夠清晰、有序，只要有利于分析、解釋，就是合理的表達。

五、解決問題的反思和評價

解決問題的反思和評價作為解決問題過程的一個重要組成部分，是學生對解決問題的過程和結果的把握和關注，能確保解決問題的過程的合理、有效。只有具備了解決問題的反思和評價能力，學生才能及時發(fā)現和糾正錯誤或偏差，才能確保成功解決問題。

例6 陳師傅要把長18厘米，寬13厘米，高6厘米的長方體木塊鋸成棱長3厘米的正方體木塊。他能鋸多少塊這樣的正方體? (六年級)

從題目看，要求大長方體可以分割成多少個小正方體，學生一般采用的方法是用大體積除以小體積。可以這樣算：

18×13×6÷(3×3×3)=52(個)

如果這樣計算，所得到的結果是不正確的。因為寬邊是13厘米，不能整除，也就是余下的部分只能浪費，所以用求大體積里面包含幾個小體積的方法，得不到正確的答案。解題時如果發(fā)現前面所確定的解題思路不當或者不簡便，應及時修正，以減少解題過程中的失誤，使問題得到順利解決。

考慮到如果要分割則必須整除，那么可以思考每條棱可以分割成幾個3厘米，再求可以分割成多少個小體積。列式解答為：

18÷3=6(個)

13÷3=4(個)……1(厘米)

6÷3=2(個)

6×4×2=48(個)

如果僅僅考慮解法的話。兩種方法都是解決這類問題的方法，很難說哪種方法更好。為此，教師要引導學生在選擇一種解法時，還可以考慮一下另一種解法，用另一種方法來檢驗解答問題的準確性。發(fā)現兩種解答結果出現不同時，一定要反思解答過程是否忽略了生活實際和其他因素，通過不斷調整自己的思路，使問題得到正確解答。