基于ＡｕｔｏＣＡＤ探究一般位置直線求實長的方法

[摘要]在機械制圖畫法幾何部分，當空間直線處于一般位置直線時，其投影就無法反映該直線的實際長度，特別在求平面圖形的實際形狀時都會經常面對這樣的問題，而現在好多教材都因為《機械制圖》教學課時的不斷壓縮而刪減甚至取消了相關內容，使學生在該知識點上形成了缺憾，本文將求一般位置直線實長的不同圖解方法集錦在一起，從原理、要領和CAD作圖技巧方面加以探究。

[關鍵詞]AutoCAD 直角三角形法 換面法 旋轉法 實長

前言：在機械制圖的畫法幾何部分，當對直線進行投影時，由于一般位置直線與投影面都是傾斜的，所以在正常的三面投影體系中，一般位置直線的投影都無法反映其真實長度。通過計算固然可以求得實長，但《機械制圖》更講究用圖解的方法來解決問題，本文力圖說明幾種解決此類問題方法的精華所在，并結合現代繪圖軟件AutoCAD克服以往手工繪圖解決此類問題時容易出現的弊端，諸如視覺誤差、測量誤差和作圖誤差使得求解不夠精準。為了簡化問題，這里多以兩面投影體系進行闡述。

直角三角形法

1.原理：如圖1所示，在將一般位置直線AB向水平投影面做正投影時，我們會發現由直線AB的實長、水平投影ab以及A、B兩點的Z軸坐標之差組成了一個直角三角形，且直線實長與水平投影之間的夾角就是空間直線與水平投影面的真實夾角角。而直線的水平投影ab和其端點的△Z在兩面投影中都是已知的，所以借助ab作為直角邊，以△Z做另一個直角邊，就能完成直角三角形，斜邊就是直線AB的真實長度，斜邊與水平投影之間的夾角就是空間直線AB與H面的夾角角。同理，在將直線AB向V面和W面作投影時，也會出現各自的直角三角形。原理相同。

2.要領：必須分清直角三角形幾何要素的“黃金搭檔”：一定是直線的某個投影（如H面投影）+與該投影所在投影面垂直軸線的直線兩端點之坐標差（Z軸坐標差）+直線的實長+空間直線與該投影所在的投影面的夾角（角）。在一般位置直線的三面投影中會有三組這樣的“黃金搭檔”，另兩組“黃金搭檔”分別是：（1）a'b'+△Y+AB+，(2) a“b”+△X+AB+。“黃金搭檔”也是“鐵板搭檔”，切忌“亂點鴛鴦譜”！只要牢記“鐵板搭檔”，利用直角三角形法求一般位置直線的實長就會變得易如反掌。

3.應用AutoCAD求直線實長的技巧：在以往用手工做直角三角形時，不管是邊長的測量、轉移還是直角的繪制，很難保證尺寸的精準程度，所求結果往往存在誤差，那么，有了AutoCAD答案將非常精準，如圖2所示，做出△Z，以△Z為長度畫直線，用移動命令以b'為基點將其移動到a點，再用旋轉命令的參照方式將其以a點為基點旋轉到與ab方向一致，再次用旋轉命令將其以a點為基點旋轉-90度構成另一個直角邊，連接斜邊即可。

換面法

1.原理：如圖3所示，在V-H兩面投影體系中，一般位置直線AB的兩面投影都無法反映其實際長度，原因如前所述，如果直線與投影面不是傾斜的而是平行的，問題就能迎刃而解，這正是換面法的基本思路。在圖3中，新建一個投影面V1，使其與原有的H面垂直，與空間一般位置直線平行，那么，直線AB在新的V1，-H兩面投影體系中就變成了投影面平行線了，必然在V1，面中的投影就反映了直線AB的實長，同時，在V1面中還反映了直線AB與水平投影面的真實夾角角。當然，這里僅僅介紹了第一次變換，那么只要抓住下面的要領，進行第二次甚至更多次變換，其方法是不變的。還可以讓V面不動，變換H面，這里就不再贅述。

2.要領：以圖3為例，變換的是V面，不變的是H面，可以看出：A、B兩點到H面的距離是固定不變的，而這不變的距離又分別在V面和V1面各出現了一次，這正是換面法的精髓所在，在圖4的展開圖中，我們稱其為舊投影到舊軸的距離=新投影到新軸的距離，這也是換面法恒定不二的法則。作圖要領：確定不變投影面，即H面，在不變投影面中作直線投影的平行線作為新軸，過不變投影面中直線投影的端點向新軸作垂線，實現舊投影到舊軸的距離=新投影到新軸的距離，就可以在V1面中求得A、B兩點的新投影a1'b1'，這也正是直線AB的實長。

應用AutoCAD求直線實長的技巧：在圖4中，使用直線命令+捕捉工具欄的平行工具，畫一條與ab平行的直線“新軸”，過a作“新軸”的垂線，過a'作“舊軸”的垂線即舊投影到舊軸的距離，用移動命令將該垂線以a'點為基點移動到ax1點，再用旋轉命令的參照將其以ax1點為基點旋轉到與ax1 a方向一致，再次用旋轉命令將其以ax1點為基點旋轉180度，就得到a1'。B點的作法相同。連接a1'b1'就得到了直線AB在V1投影面的投影a1'b1'，也正式直線AB的實長，同時可以求出角。

旋轉法

1.原理：空間一般位置直線在兩面投影體系中，投影無法反映該直線的實長，原因如前所述。如圖5所示，我們運用“山不轉水轉”的相對運動原理，設想A點不動，空間直線AB以Aa為軸線旋轉，當AB旋轉到與V面平行的位置時，直線AB就變成投影面的平行線了，再將AB向V面作正投影，就能得到該直線的實長了。空間直線AB運動的同時，該直線的兩面投影在作如下運動：（1）水平投影ab以a點為圓心，以ab為半徑作擺動，直至與投影軸平行，即ab1的位置；（2）正面投影：a' 點不動，由于空間直線AB在旋轉的過程中，B點的高度始終不變，所以，b'點在作與投影軸平行方向的平移至b1'，最后連接a b1'就得到直線AB旋轉以后的正面投影，也正是該直線的實長，而a b1'與投影軸之間的夾角正是空間直線AB與H面的夾角角。直線AB除了以Aa為軸線旋轉外，還可以分別以Bb、Aa'、Bb'為軸線進行旋轉，原理相同，這里不再贅述。

2.要領：（1）首先需要確定空間直線旋轉的軸線，從而明確空間直線旋轉的同時，它的兩面投影各自的運動規律，就能迅速準確地求出空間直線旋轉以后的新投影，進而完成空間直線實長和空間直線與投影面的夾角的求解。（2）如果想求空間直線與H面的夾角，就必須以直線的某個端點向H面作投影線作為旋轉軸線，同理，如果想求空間直線與V面的夾角，就必須以直線的某個端點向V面所作的投影線作為旋轉軸線。

3.應用AutoCAD的技巧：以圖6為例，確定以Aa為旋轉軸線，那么，在水平投影中，過a點作投影軸ox的平行線，再以a點為圓心以ab為半徑畫圓弧與過a 點的水平線相交得b1，過b1點作ox軸的垂線（投影連線），在正面投影中，過b'點作ox軸的平行線與b1點的投影連線相交求得b1'點，連接a b1'就得到空間直線的實長。同時求得角。

總結

綜上所述，三種求一般位置直線實長的方法各有千秋，直角三角形法簡單、快捷、直觀，換面法稍顯麻煩，但是，用換面法經過兩次變換解決一般位置平面圖形的實際形狀時，就彰顯了它的優勢，當圓錐表面的素線處于一般位置直線時，用旋轉法求其實長會特別簡捷，但應注意，以上三種方法在求空間直線與投影面的夾角時，一次只能求出一個夾角。

中圖分類號： TB237 文獻標識碼 A

參考文獻：

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作者單位：西安航空技術高等專科學校機械工程系陜西西安

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