例談求極限的幾種不常見方法

在科學(xué)研究中，數(shù)學(xué)是重要的基本工具，已經(jīng)廣泛地滲透到各個(gè)學(xué)科，是培養(yǎng)各類科技人才的必要基礎(chǔ)。《高等數(shù)學(xué)》這門課在內(nèi)容上極其豐富，方法上靈活多樣。在多年的教學(xué)實(shí)踐中，作者發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)求極限時(shí)感到非常困難，分析其原因在于極限概念不僅抽象，而且計(jì)算方法靈活，不易掌握。

因此，要熟練準(zhǔn)確地計(jì)算各種極限，除了要掌握常見求極限方法如：利用極限的運(yùn)算法則來求極限、利用兩個(gè)重要的極限來求極限、利用等價(jià)無窮小代換來求極限等外，了解一些不常見解法，對于進(jìn)一步學(xué)好《高等數(shù)學(xué)》的其它相關(guān)內(nèi)容是十分必要的。本文提出了極限計(jì)算中不常見的七種解題方法，目的是開闊學(xué)生的解題思路，從而提高解題能力。

利用先求解微分方程再求極限的方法

說明：此法主要用于已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所具有的極限性質(zhì)，求函數(shù)所具有的根限，這種方法的主要內(nèi)容為：設(shè)上有階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 ，求。通常令，解常系數(shù)微分方程得。再利用的表達(dá)式和 確定極限 。

[例1]已知在[]上有連續(xù)的一階導(dǎo)函數(shù)，且[]=a，求 。

解：設(shè) = ，解此常微分方程得通解=，其中為任意數(shù)。

由已知條件

①當(dāng) = 0時(shí)，且收斂時(shí)，有= 0 =

②當(dāng)≠0或 = 0但發(fā)散時(shí)，有 == = 綜上所述， =

利用積分中值定理求極限

說明：求積分式的極限時(shí)，如果積分麻煩，或原函數(shù)求不出來，可考慮用積分中值定理，其中的趨向由上，下限確定。積分中值定理：如果在[a，b]上連續(xù)，在[a，b]上可積且不變號(hào)，則存在∈[a，b]，使得：

[例2]求，其中＞0為常數(shù)，為自然數(shù)。

解：由積分中值定理，在與之間存在，使得 = ，∴ ==0

[例3]求

解：對任意的0＜＜1， =，其中0≤≤1，所以0≤≤，由的任意性，=0

Stolz求極限法

說明：在計(jì)算數(shù)列形式的，不定型的極限時(shí)，可采用下列結(jié)果：

Stolz定理：（1）設(shè){}，{}是兩個(gè)實(shí)數(shù)列，第二個(gè)數(shù)列定向發(fā)散于∞并且對充分大的n，它是嚴(yán)格單調(diào)的，若 存在（有限或無限），則=；

（2）設(shè){}，{}滿足，且{}對充分大的n嚴(yán)格單調(diào)，則當(dāng)存在（有限或無限），有=

[例4]已知，求下列各極限值。

（1）;（2）若＞0，求；（3）若≠0，求；（4）；

解：（1） = =；

（2）= exp[ln] = exp[ln]=；

（3） = [] =；

（4） ==

[例5]設(shè)＞0， = sin2…，求

解：易見{}是單調(diào)遞減且 =0，而

= =

= = = =

所以

Stirling公式法求極限

說明：這種方法是利用stirling公式：，0<<1，求含有n!或者數(shù)列的極限。

[例6]求極限

解：根據(jù)stirling公式：，（0<<1）。

∵ == （·） = ，

∴ = e= e

[注]與Stirling公式法相應(yīng)的有Euler公式法：c+ln+，其中c為Euler常數(shù)，→0（n→∞）。

[例7]求（）

解：記則且

ln2+

∴ == ln2故 = ln2

冪級(jí)數(shù)的極限法求極限

說明：此法是利用冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上的逐項(xiàng)可微，可積等性質(zhì)來求極限。如果冪級(jí)數(shù)在某區(qū)間上收斂，若是該區(qū)間的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，則：= ；（）=；dx =dx = ，若是該區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)，則當(dāng)冪級(jí)數(shù)的收斂域包括點(diǎn)時(shí)，也有單邊極限。

[例8]求極限

（ +…+）

解令s(x) =，||＜3。則= = ，所以ln，因此= ln

[例9]求極限

解：由于ln，∈[-1，1]。所以 = = ln2。

利用Riemann引理求極限

說明：設(shè)在[a，b]上可積，則 = 0，這個(gè)結(jié)果稱為黎曼（Riemann）引理。

[例10]求極限：

解：由于cos，所以：

==

[例11]求極限：

解：由于 = cos，所以有

=== ，因此，== arln2

利用級(jí)數(shù)的收斂性質(zhì)求極限

說明:這是一種應(yīng)用級(jí)數(shù)理論中某些結(jié)論求極限的方法，主要有：（1）級(jí)數(shù)收斂的必要條件:如果級(jí)數(shù)收斂，則 = 0，當(dāng)數(shù)列的極限不易求出，如果把它成某級(jí)數(shù)的通項(xiàng)(或冪級(jí)數(shù))而對此級(jí)數(shù)的收斂性判別比較容易時(shí)，則由級(jí)數(shù)收斂必要條件得。

（2）數(shù)列看作級(jí)數(shù)的部分和：對于數(shù)列{}， = （），，于是求極限問題代為求級(jí)數(shù)的和。

（3）柯西收斂準(zhǔn)則：如果級(jí)數(shù)收斂，則 = 0

[例12]求極限（…）

解：令 = （…） = n[] = n[] = += ，根據(jù)級(jí)數(shù)的拉貝判別法，當(dāng)＞1，即＞2時(shí)級(jí)數(shù)收斂，從而，故（…）= 0

[例13]已知， = 3，4…，求

解：設(shè)，

∴() = () ==故 =

[例14]求()

解：由于級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，對任意的=0，特別地當(dāng)時(shí)， = 0。

[1]劉書田．高等數(shù)學(xué)》(第二版)[M]．北京：北京大學(xué)出版社， 2005．

[2]丁家泰．微積分解題方法[M]．北京師范大學(xué)出版社， 1981．

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析[M]．高等教育出版社， 1997.

[4] 同濟(jì)大學(xué)．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社， 2001．

趙普軍，洛陽理工學(xué)院師范學(xué)院

孫青茹，洛陽理工學(xué)院現(xiàn)代教育技術(shù)中心

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。