探索三角形中的角

同學(xué)們都知道，三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、三角形角平分線的性質(zhì)對(duì)于解答與三角形有關(guān)的問題有著很重要的作用，靈活應(yīng)用這些定理和性質(zhì)有助于提高我們的解題能力.下面舉例說明.

例1如圖1，若點(diǎn)P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，試說明∠BPC=90°+∠A.

[解析：]在△BPC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）.

∵∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，

∴∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-（∠ABC+∠ACB）.

∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴∠BPC=180°-（180°-∠A）

=90°+∠A.

[點(diǎn)評(píng)：]三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)以及整體代入思想在解這道題的過程中起著重要的作用.

同學(xué)們可以參照例1試著解答下面這道練習(xí)題.

練習(xí)：如圖2，點(diǎn)P是△ABC的外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點(diǎn)，試說明∠P=90°-∠A.

例2如圖3，點(diǎn)P是∠ABC的平分線和∠ACE的平分線的交點(diǎn)，試說明∠P=∠A.

[解析：]可利用三角形外角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)解題.

∵∠PCE是△PBC的外角，

∴∠PCE=∠PBC+∠P.

故∠P=∠PCE-∠PBC.

∵∠ACE是△ABC的外角，

∴∠ACE=∠ABC+∠A.

故∠A=∠ACE-∠ABC.

∵∠ACE=2∠PCE，∠ABC=2∠PBC，

∴∠A=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）.

又∠P=∠PCE-∠PBC，

∴∠A=2∠P，即∠P=∠A.

[點(diǎn)評(píng)：]在求三角形中角的關(guān)系時(shí)，常用到三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、三角形角平分線的性質(zhì)，利用好它們之間的關(guān)系，可以很方便地解決問題.