利用轉化思想巧解一道課本習題

題目 一只螞蟻在如圖1所示的樹枝上尋找食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機地選擇一條路徑，它獲得食物的概率是多少?

這是人教版義務教育課程標準實驗教科書九年級上冊第155頁第4題.

錯解 用樹形圖，如圖2所示，解答：螞蟻共有7種不同的走法，其中兩種走法獲得食物，概率為27.

剖析 樹形圖法是用來求古典概型概率的一種方法，古典概型試驗具有兩個共同特點：

1. 一次試驗中，可能出現的結果有有限多個；

2. 一次試驗中，各種結果發生的可能性相等.

胡老師在文[1]中指出，此題是一道初中階段不易解決的概率題，教材安排這道習題是不恰當的.實際上，借助轉化思想這道題完全可以用初中階段 的知識解決，下面給出兩種正確的解法：

解法1 由于螞蟻爬向b1、b2、b3的可能性是一樣的，而與b1相連的數叉上沒有食物，因此與b1相連的小樹叉的數量不影響螞蟻爬到b2或b3后再獲得食物的概率，因此，可以去掉與b1相連的一個數叉，不影響問題的最后結果，這樣就滿足古典概型的兩個特點了.

列出如圖3所示樹形圖：

于是，螞蟻共有6種不同的走法，其中兩種走法獲得食物，概率為13.

解法2 將與b1、b2、b3相連的小樹叉的個數都改為6，相應的與b2、b3的有食物的小樹叉的個數都改為3，于是問題等價轉化為古典概型問題，易求螞蟻獲得食物的概率是13.

不難看出解法2更具一般性，同樣的思路可以解答下面的變式問題：

變式題1 把原題中與b3相連的樹叉上的食物移到與b1相連的樹叉上，其它條件不變，求螞蟻獲得食物的概率?

分析 把與b1、b2、b3相連的樹叉的個數變為6，相應的與b1相連的有食物的樹叉的個數變為2，與b2相連的有食物的樹叉的個數變為3，問題等價轉化為古典概型問題了.列數形圖(圖略)可得，螞蟻共有18種不同的走法，其中5種走法獲得食物，獲得食物的概率為518.

由此不難得到解決這個問題的一般思路： 先找出第二層樹叉上有食物的第一層樹叉，將第二層樹叉的個數都變為與這些數叉相連的小樹叉個數的最小公倍數，有食物的樹叉同時做相應變化；對于第二層樹叉上沒有食物的第一層樹叉，與其相連的小樹叉的個數與最后結果無關，也變為前面小樹叉個數的最小公倍數，從而把問題變為古典概型問題求解.

利用這個規律可以簡潔地解答稍復雜的下面的問題：

變式題2 在原題背景下，把與b1相連的樹叉個數改為4個，其中2個樹叉上有食物；與b2相連的樹叉的個數改為6個，其中4個樹叉上有食物；與b3相連的樹叉共有7個，沒有樹叉上有食物，求螞蟻獲得食物的概率.

分析 第二層樹叉上有食物的第一層樹叉是b1、b2，與它們相連的小樹叉的個數分別是4和6，它們的最小公倍數是12，因此，將第二層樹叉的個數變為12，同時與b1相連的有食物樹叉個數變為6，與b2相連的有食物樹叉個數變為8；與b3相連的小樹叉上沒有食物，與之相連的樹叉的個數直接變為12.問題變為古典概型問題，列數形圖容易求出螞蟻獲得食物的概率為718.

由此看來，這是一道提高學生分析問題能力、滲透轉化與化歸思想的一道好題.胡老師文中作出的這是“一道初中階段不易解決的概率題，教材安排這道習題是不恰當的”的論斷顯然有考慮不全面之嫌.

參考文獻

[1] 胡其忠.一道初中階段不易解決的概率題 [J].中學數學雜志(初中)，2007，(6).

作者簡介：蓋仕廣，1992年畢業于南京師范大學數學系，中學高級教師，致力于解題及解題教學研究，曾在貴刊及其它省級以上刊物發表論文多篇.

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