關(guān)注反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題

張　雷

反比例函數(shù)是中考命題的主要考點，近幾年中考試卷中出現(xiàn)了不少將反比例函數(shù)與其他函數(shù)、幾何圖形、方程（組）等綜合編擬的解答題.其中，將反比例函數(shù)與其他函數(shù)綜合命題是中考命題的新動向.

例1已知正比例函數(shù)y = kx與反比例函數(shù)y = 的圖象都過點A（m，1），求此正比例函數(shù)的解析式及另一個交點的坐標(biāo)．

分析：由A點坐標(biāo)滿足y = 可求得m值，再將A點坐標(biāo)代入y = kx可求得正比例函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組可求得另一交點坐標(biāo).

解：因y = 的圖象過A（m，1），即1 = ，故m = 3，即A（3，1）．將A（3，1）代入y = kx，得k = ，所以正比例函數(shù)解析式為y = x．

聯(lián)立方程組，得y =

，

y =

x，解得x1 = 3，

y1 = 1或x2 =- 3，

y2 = - 1.

故另一交點坐標(biāo)為（- 3，- 1）．

點評：解此類題時，一般是先構(gòu)造方程或方程組，再來解決問題.

例2如圖1，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象分別是直線AB和雙曲線．直線AB與雙曲線的一個交點為C，CD垂直x軸于點D，OD = 2OB = 4OA = 4．求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．

分析： 由已知三條線段之間的關(guān)系，可求得A、B、C三點的坐標(biāo)，由此利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式.

解：由已知OD = 2OB = 4OA = 4，得A（0，- 1）、B（- 2，0）、D（- 4，0）．

設(shè)一次函數(shù)解析式為y = kx + b.點A、B在一次函數(shù)圖象上，所以b = - 1，

- 2k + b = 0，即k = -

，

b = - 1.則一次函數(shù)解析式是y = -x - 1.

點C在一次函數(shù)圖象上，當(dāng)x = - 4時，y = 1，即C（- 4，1）．

設(shè)反比例函數(shù)解析式為y = ．點C在反比例函數(shù)圖象上，則1 =，得m = - 4．故反比例函數(shù)解析式是y = - ．

點評：反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題常涉及特殊線段、三角形面積等條件，這些幾何圖形的邊長常常與某些點的坐標(biāo)相關(guān).這類題體現(xiàn)了在知識交匯處命題的特色.

例3如圖2，反比例函數(shù)y = 的圖象經(jīng)過點A（- ，b），過點A作AB垂直x軸于點B，△AOB的面積為.

（1） 求k和b的值.

（2） 若一次函數(shù)y = ax + 1的圖象經(jīng)過點A，并且與x軸相交于點M，求AB ∶ OM的值.

分析：以面積為突破口，可求出A點縱坐標(biāo)b和系數(shù)k，結(jié)合A點的雙重特性（A點既在直線上，又在反比例函數(shù)圖象上）求解相應(yīng)問題.

解：（1）∵AB⊥BO，A點坐標(biāo)為（- ，b），

∴ S△AOB = AB·BO = ，即b · ｜ - ｜ = .

∴ b = 2.

又點A在雙曲線y = 上，

∴k = 2 × （- ） = - 2.

（2）∵點A在直線y = ax + 1上，

∴ 2 = - a + 1.

∴ a = - .

∴ y = - x + 1.

當(dāng)y = 0時，x = .所以M點的坐標(biāo)為（，0）.

∴ AB ∶ OM = 2 ∶ .

點評：縱觀近年來的中考試題，關(guān)于反比例函數(shù)的綜合題大多是與一次函數(shù)相結(jié)合，做題時常利用交點的雙重特性來構(gòu)造方程（組）解決問題.

例4Rt△ABC中，∠A = 90°，∠B = 60°，AC = ，AB = 1.將它放在直角坐標(biāo)系中，使斜邊BC在x軸上，直角頂點A在反比例函數(shù)y = 的圖象上，求點C的坐標(biāo)．

分析：通過畫圖可發(fā)現(xiàn)，點A的位置有2種情況（在第一象限的那支圖象上或在第三象限的那支圖象上），點B、C的位置也有2種情況（可能點B靠近原點，也可能點C靠近原點），解題時要注意利用反比例函數(shù)圖象的對稱性．

解：本題共有4種情況．

（1）如圖3，過點A作AD⊥BC1于D，

∵ AB = 1，∠B = 60°，

∴ BD = ，AD = .

∴ 點A的縱坐標(biāo)為．將其代入y = ，得x = 2，即OD = 2．

在Rt△ABC1中，DC1 = 2 -= .所以O(shè)C1 = ，即點C1的坐標(biāo)為

，0．

根據(jù)雙曲線的對稱性，得點C3的坐標(biāo)為

-，0.

（2）如圖4，過點A作AE⊥BC2于E，則仿（1）可求得AE = ，OE = 2，C2E = .

所以O(shè)C2 = ，即點C2的坐標(biāo)為

，0．

根據(jù)雙曲線的對稱性，得點C4的坐標(biāo)為-

，0．

所以點C的坐標(biāo)分別為：

，0、

，0、

-，0、-

，0．

點評：根據(jù)題意，進行分類，是解決本題的突破口．此題涉及與反比例函數(shù)相關(guān)的許多問題，能較好地展示同學(xué)們的思維過程和思維方式，考查同學(xué)們靈活運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，具有較好的選拔功能．

[即學(xué)即練]

1. 如圖5，反比例函數(shù)y = - 與一次函數(shù)y = - x + 2的圖象交于A、B兩點．

（1） 求A、B兩點的坐標(biāo).

（2） 求△AOB的面積．Y