坐標系中的規律探索

房延華

探索型問題有助于我們在分析、推理、探索中提高數學思維能力和創新能力．下面以2007年的幾道中考題為例，講解一下與平面直角坐標系有關的探索型題目．

例1如圖1，在平面直角坐標系中，有若干個整數點（橫、縱坐標都為整數），其順序按圖中“→”方向排列，即（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…根據這個規律探索，可得第100個點的坐標為 ．

解析：觀察圖1中點的坐標的排列規律可知，當點的橫坐標為偶數時，其排列順序是按縱坐標由小到大的順序排列；當點的橫坐標為奇數時，其排列順序是按縱坐標由大到小的順序排列．再觀察每一縱列，橫坐標為1的點有1個，橫坐標為2的點有2個，橫坐標為3的點有3個，…，橫坐標為n的點有n個．

因1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ 13 ＝ 91 ＜ 100 ＜ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ 14 ＝ 105，故第100個點的橫坐標應為14，而其縱坐標應為8，即第100個點的坐標為（14，8）．

點評：解本題的關鍵，是從圖形中找出關于點的排列順序和每列點的個數的規律．

例2如圖2，在平面直角坐標系中，已知點P0的坐標為（1，0），將線段OP0繞O點按逆時針方向旋轉 45°，再將其長度伸長為原來的2倍，得到線段OP1；再將線段OP1繞O點按逆時針方向旋轉45°，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2．如此下去，得到線段OP3，OP4，…，OPn（n為正整數）．

（1） 求點P6的坐標．

（2） 我們規定：把點Pn（xn，yn）（n ＝ 0，1，2，3，…）的橫坐標xn，縱坐標yn都取絕對值后得到的新坐標（xn，yn）稱為點Pn的“絕對坐標”．根據圖中點Pn的分布規律，請你猜想點Pn的“絕對坐標”，并寫出來．

解析：（1）根據旋轉規律，點P6落在y軸的負半軸，而點Pn到坐標原點的距離始終等于Pn－1點到原點距離的2倍，故P6的坐標為（0，－ 26），即P6（0，－ 64）．

（2）由題意知，OP0旋轉8次后回到x軸正半軸，在這8次旋轉中，點Pn分別落在象限的角平分線上或x軸、y軸上，但各點“絕對坐標”的橫、縱坐標均為非負數，因此，點Pn可分為三類情況：

①當n ＝ 8k或n ＝ 8k ＋ 4時（其中k為自然數），點Pn落在x軸上，此時，點Pn的絕對坐標為（2n，0）．

②當n ＝ 8k ＋ 1或n ＝ 8k ＋ 3或n ＝ 8k ＋ 5或n ＝ 8k ＋ 7時（其中k為自然數），點Pn落在象限的角平分線上，此時，點Pn的絕對坐標為

·2n，

·2n，即（2n － 1，2n － 1）．

③當n ＝ 8k ＋ 2或n ＝ 8k ＋ 6時（其中k為自然數），點Pn落在y軸上，此時，點Pn的絕對坐標為（0，2n）．

點評：本題尋找Pn點坐標規律時，要充分利用兩個條件：①OPn長度為OPn － 1長度的2倍；②旋轉角為45°．所以在做題時，首先要從題目中提煉有用的信息，這樣再做題就容易多了．

例3實驗與探究．

（1）在圖3、圖4、圖5中，?ABCD的頂點A、B、D的坐標已給出．圖 3、圖4、圖5中的頂點C的坐標分別是，，．

（2）在圖6中，?ABCD的頂點A，B，D的坐標已給出，求頂點C的坐標（用含a、b、c、d、e、f的代數式表示）．

（3） 通過對圖3～圖6的觀察和頂點C的坐標的探究，你會發現：無論?ABCD處于平面直角坐標系中哪個位置，4個頂點的坐標之間都存在著某個不變的關系．如圖6，當?ABCD的頂點坐標為A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）時，4個頂點的橫坐標a、c、m、e之間的等量關系為；縱坐標b、d、n、f之間的等量關系為．（不必證明）

解析：（1）根據平行四邊形的性質，可求出圖3、圖4、圖5中的頂點C的坐標分別是（5，2），（e ＋ c，d），（c ＋ e － a，d）．

（2）如圖7，分別過點A、B、C、D作x軸的垂線，垂足分別為A1、B1、C1、D1．分別過A、D作AE⊥BB1于點E，DF⊥CC1于點F．在?ABCD中，CD ＝ BA，又因為BB1∥CC1，所以∠EBA ＝ ∠FCD．

因為∠BEA ＝ ∠CFD ＝ 90°，所以△BEA ≌ △CFD．

所以AE ＝ DF ＝ a － c，BE ＝ CF ＝ d － b．

設C點的坐標為（m，n）．由e － m ＝ a － c，得m ＝ e ＋ c － a．由n － f ＝ d － b，得 n ＝ f ＋ d － b．所以C點的坐標為（e ＋ c － a， f ＋ d － b）．

（3）由（1）、（2）易得4點坐標之間的關系為m ＋ a ＝ c ＋ e，n ＋ b ＝ d ＋ f，或表示為 m ＝ c ＋ e － a，n ＝ d ＋ f － b．Y