一類規(guī)律探索問題的多種解法

郭　萍

規(guī)律探索型問題是近年來各地中考熱點(diǎn)問題之一，這類問題題型多，內(nèi)容復(fù)雜，不易發(fā)現(xiàn)規(guī)律.現(xiàn)就其中一類具有特殊規(guī)律——增量為定值的探索問題舉例分析，希望能對同學(xué)們有所幫助.

問題：如圖1，某廣場要做一個(gè)由若干盆花組成的形如正六邊形的花壇，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有n（n>1）盆花，設(shè)這個(gè)花壇邊上花盆的總數(shù)為S，請觀察下列圖形的規(guī)律：

按上述規(guī)律推斷S與n的關(guān)系式是.

解法1：表格法.

剛進(jìn)入七年級時(shí)就會(huì)遇到這類問題，通過觀察可發(fā)現(xiàn)S與每邊上的花盆數(shù)n的多少有關(guān)，利用表格分析很容易找到其規(guī)律.

所以，S與n的關(guān)系式是S=6n-6.

解法2：方程法.

經(jīng)過七年級的學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)熟悉了一元一次方程的解法，根據(jù)S的變化規(guī)律——增量為定值，S與n的關(guān)系一定為S是n的6倍再加上一個(gè)常數(shù)x，即S=6n+x，當(dāng)n=2時(shí)，S=6，代入可得x=-6，所以S=6n-6.

解法3：函數(shù)法.

進(jìn)入八年級后，同學(xué)們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)相關(guān)知識，對于這類問題，可以利用一次函數(shù)來求解.

設(shè)S與n的關(guān)系為S=kn+b.

∵ n=2時(shí)，S=6，n=3時(shí)，S =12，

∴6=2k+b，

12=3k+b.解得k=6，

b=-6.

∴ S與n的關(guān)系式是S=6n-6.

解法4：數(shù)列法.

等同學(xué)們上了高中，學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)知識后，還可以用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，這里略.

總之，在分析這類問題時(shí)，注意把握其變化的規(guī)律——增量是常量這一基本特點(diǎn)，利用歸納猜想、代值驗(yàn)證的數(shù)學(xué)思想求解，就會(huì)使問題顯得簡單.

[即學(xué)即練]

1. 觀察數(shù)據(jù)1，，， ，，試猜想第6個(gè)數(shù)與第n（n為正整數(shù)）個(gè)數(shù)分別是，.（用含n的式子表示）

2. 用火柴按圖2所示的方法搭三角形.

（1） 填寫下表：

（2） 照這樣的規(guī)律搭下去，搭第n個(gè)圖形需要多少根火柴？

（3） 如果有1 113根火柴，能不缺少也不剩余地搭出這樣的三角形嗎？若能，能搭幾個(gè)？若不能，說說你的理由.L