圖文并茂的一次函數(shù)題

王　鋒

近幾年，中考試卷中出現(xiàn)了很多看圖學數(shù)學的題目，這類題目通過形象的圖畫或生動的人物對話來創(chuàng)設數(shù)學情境，讓同學們通過對設置的場景的觀察、分析、理解，抽象出數(shù)學本質(zhì)的問題，建立起相應的數(shù)學模型，然后用所學的相關知識去解釋和應用．這類試題取材廣泛，形式豐富多彩，場景生動活潑，趣味性、靈活性較強，注重體現(xiàn)生活、生產(chǎn)與數(shù)學的聯(lián)系，為同學們提供看得到、聽得見、感受得到的基本素材，引導同學們思考與探索，增強應用數(shù)學知識解決實際問題的能力．本文以幾道中考試題為例加以分析．

例1（2007年·鹽城市）如圖1，一只烏鴉口渴了到處找水喝，它看到了一個裝有水的瓶子，但水位較低，且瓶口小，烏鴉喝不著水．沉思一會兒后，聰明的烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位上升后，烏鴉喝到了水．在這則烏鴉喝水的故事中，設從烏鴉看到瓶子的那刻起往后的時間為x，瓶中水位的高度為 y，下列圖象中最符合故事情景的是（）．

解析：要選擇出符合故事情景的圖象，必須透徹分析烏鴉的銜石與喝水過程．從烏鴉看到瓶的那刻起到銜石放入瓶中前，時間在增加，而瓶中水位的高度 y沒有發(fā)生變化，因而可排除C；在烏鴉不斷銜來一個個小石子放入瓶中的過程中，水位不斷上升，據(jù)此可排除A；烏鴉喝水的過程中，瓶中水位的高度逐漸下降，但其水位不會低于原來的高度，故排除B．故應選D．

例2（2007年·隴南市）如圖2，兩摞相同規(guī)格的飯碗整齊地疊放在桌面上．請根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)信息，解答下面的問題．

（1）求整齊疊放在桌面上的飯碗的高度y（cm）與飯碗數(shù)x（個）之間的一次函數(shù)關系式．（不要求寫出自變量x的取值范圍）

（2）若桌面上有12個飯碗，整齊疊放成一摞，求出它的高度．

解析：觀察圖2可知，4個飯碗的高度為10．5 cm，7個飯碗的高度為15 cm．飯碗的高度y（cm）與飯碗數(shù)x（個）之間存在著一次函數(shù)關系，從而可用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)關系式．

（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為y ＝ kx ＋ b，把（4，10．5），（7，15）代入函數(shù)關系式，有10．5 ＝ 4k ＋ b，

15 ＝ 7k ＋ b．兩式相減得4．5 ＝ 3k，所以 k ＝ 1．5．代入上面任一方程得b ＝ 4．5．所以y與x之間的函數(shù)關系式為y ＝ 1．5x ＋ 4．5．

（2）當x ＝ 12時，y ＝ 1．5 × 12 ＋ 4．5 ＝ 22．5．所求的高度為22．5 cm．

評注：解決問題的關鍵是找出兩組相關的量，設出函數(shù)的解析式，根據(jù)已知條件列出關于k、b的兩個方程．求出k、b的值，便可求出一次函數(shù)的解析式．此種方法稱為“待定系數(shù)法”．

例3（2006年·吉林省）小明受烏鴉喝水故事的啟發(fā)，利用量筒和體積相同的小球進行了如下操作（如圖3）．

請根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問題：

（1） 放入一個小球，量筒中水面會升高cm．

（2） 求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）與小球個數(shù)x之間的一次函數(shù)關系式．（不要求寫出自變量 x 的取值范圍）

（3） 量筒中至少放入幾個小球才有水溢出？

解析：解決本題的關鍵，是把圖形蘊涵的數(shù)學信息轉(zhuǎn)化為對應的一次函數(shù)圖象上點的坐標．觀察圖形，因為每個小球的體積相等，所以水面高度應和小球的個數(shù)成一次函數(shù)關系．根據(jù)待定系數(shù)法容易求出y與x之間的函數(shù)關系式．設y ＝ kx ＋ b，量筒中無球時水面高度為30 cm，對應坐標為（0，30），3個球時水面高度為36 cm，對應坐標為（3，36），將（0，30），（3，36）代入得36 ＝ 3k ＋ b，

30 ＝ b．解得k ＝ 2，

b ＝ 30．故y ＝ 2x ＋ 30．

觀察圖形知量筒的最大高度為49 cm，要使量筒中的水溢出，則放入小球后水面的高度應超過49 cm．故2x ＋ 30 ＞ 49，解得x ＞ 9．5．所以至少放入10個小球才有水溢出．

評注：此題創(chuàng)意新穎，以烏鴉喝水的故事為背景，以一次函數(shù)為數(shù)學模型，綜合測試了同學們的讀圖識圖能力和提取數(shù)學信息、處理信息的能力，同時又考查了對應變化思想與待定系數(shù)法的應用．

例4（2007年·湖州市）在正常情況下，一個人在運動時每分鐘所能承受的心跳的最高次數(shù)S是這個人的年齡n（歲）的一次函數(shù)．觀察圖4，回答下列問題．

（1）求在正常情況下，S關于n的函數(shù)關系式．（不必寫出自變量n的取值范圍）

（2）一位63歲的人在跑步，醫(yī)生在途中測得他10 s中心跳為26次，問：他是否有危險？為什么？

解析：本題是一道以人物對話為背景的中考題，要求同學們通過讀圖能夠獲取一次函數(shù)中兩個變量之間的兩組對應值．由女醫(yī)生的話容易找到其中的已知數(shù)量，即一個年齡為15歲的人，在運動時每分鐘所能承受的最高心跳次數(shù)為164；一個年齡為45歲的人，在運動時每分鐘所能承受的最高心跳次數(shù)為144．又知一個人在運動時每分鐘所能承受的最高心跳次數(shù)是年齡的一次函數(shù)，從而可建立函數(shù)關系式．

（1）設 S關于n的函數(shù)關系式為S ＝ kn ＋ b．由題意，得164 ＝ 15k ＋ b，

144 ＝ 45k ＋ b．

解得k ＝ －

，

b ＝ 174． 所以S ＝ － n ＋ 174．

（2）一位63歲的人10 s中心跳為26次，即每分鐘跳156次，由于當年齡n ＝ 63時，每分鐘所能承受的最高心跳次數(shù)S ＝ －× 63 ＋ 174 ＝132，所以，他有危險．

評注：以對話為背景的題更貼近生活，同學們在平時的生活中應多留心、多觀察．L