分式的基本性質及應用

莊億農

[一、基本性質的剖析]

分式的分子和分母都乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變，即 = ， = （M是不等于0的整式）.從形式上看，分式的基本性質與小學學過的分數基本性質幾乎是一樣的，學習起來不會有多大困難，但要真正理解和掌握，必須注意從三個方面去把握.

1． 基本性質中的A、B、M表示整式，實際上隨著知識的不斷擴充，A、B、M還可以代表任何代數式（B、M不等于0）.

2． 基本性質中的B ≠ 0是已知條件中的隱含條件，在解題過程中一般不需要強調，M ≠ 0這個條件千萬不能忽略.在算術中講到分數基本性質時，雖然也要求M ≠ 0，但在運用中我們是不會用0去乘（或除）分數的分子與分母的，所以這個條件常常不被引起重視，而在分式中，M是一個含有字母的代數式，由于字母的取值可以是任意的，故M就有取0的可能性.因此，我們在應用基本性質時，應分析M的值是否為0，養成隨時注意應在什么條件下應用這個性質的習慣.

3． 基本性質由六部分構成：（1）分式的分子和分母；（2）都乘（或除以）；（3）同一個；（4）不等于0；（5）整式；（6）分式的值不變.其中前五個是條件，第六個是結論.要注意條件中的“都”、“同一個”、“不等于0”和“整式”這幾個關鍵詞語，它們保證了“分式的值不變”這一結論.

[二、基本性質的應用]

1． 對一個由分式構成的等式從左到右進行變形.

例1填空：

（1） = .（2） = .

分析：（1）右邊的分母a2b是左邊的分母ab乘a得到的，根據分式的基本性質，右邊的分子應是左邊的分子乘a，即a（a - b） = a2 - ab.（2）右邊的分子x + y是左邊的分子x2 + xy除以x得到的，故右邊的分母應是左邊的分母除以x，即x2 ÷ x = x.

解：（1） = .（2） = .

點評：解這類題時，要認真比較等式兩邊分式的分子和分子、分母和分母的關系，看它們同乘（或除以）了什么樣的整式.切記變形前后分式的值保持不變.

2． 把分式中各項的分數、小數系數化為整數系數.

例2將下列分式中各項的系數都化為整數.

（1） .（2） .

分析：（1）中各項的系數都是小數，觀察特點可知，只要將分子和分母同乘10就行了.（2）中各項的系數都是分數，它們分母的最小公倍數是12，所以只要將分式的分子和分母同乘12就解決問題了.

解：（1）== .

（2）== .

點評：解這類題時，要根據分式的基本性質進行變形.通常情況下，若各項系數都是分數，可以把分式的分子和分母同乘各項系數的所有分母的最小公倍數；若各項系數都是小數，可以根據具體情況，把分子和分母同乘10n；若各項系數不統一，有分數系數又有小數系數，要先化統一，再解題.

3． 改變分式的分子、分母的符號.

例3下列各等式正確的是（）.

A．= B．=

C．= 1 D． -=

分析：A中同時改變分式的分子、分母的符號，相當于把分式的分子、分母同乘－1，分式的值不變，故A正確；B中改變符號后分母應為 － x + y，不能只改變其中一項的符號，故B是錯的；C中分子應為－ （- x + y），顯然等式不成立；D中（y - x）2 = （x - y）2，分子、分母同除以x － y后不應改變分式本身的符號，故D也是錯的.

解：應選A．

點評：利用分式的基本性質可以對一個分式的分子、分母的符號進行變化，即同時改變分式的分子和分母的符號，分式的值不變.

4． 對分式進行約分.

例4約分：.

分析：首先將分子、分母中的每一個因式的最高次項系數化為正數，然后再對每一個能分解因式的多項式進行分解，利用分式的基本性質約去分子、分母中的相同因式.

解： =

=

=

= .

點評：將分式約分時，若分子、分母都是單項式，則公因式取相同字母的最低次冪與系數的最大公約數的積；若分子、分母是多項式或含多項式的因式積，則應先將多項式分解因式，再約去相同因式.

5． 對分式進行通分.

例5通分：，，.

分析：先將每個分式的分母分解因式，然后確定最簡公分母.因為2a + 2 = 2（a + 1），a2 - a - 2 = （a + 1）（a - 2），4 - 2a =- 2（a - 2），所以最簡公分母為2（a + 1）（a - 2）.

解：∵最簡公分母為2（a + 1）（a - 2），

∴ == ，

==，

= .Y