“數的開方”錯解剖析

劉書妹

數的“開方”運算是同學們學習中繼“加、減、乘、除、乘方”五種運算后的又一種運算，也是初中階段需要掌握的一種重要的運算. 由于開方運算的特殊性，例如開平方運算中被開方數取值范圍的限制、平方根運算結果的不唯一性等，容易導致同學們在進行開方運算時犯錯誤. 下面針對同學們常犯的錯誤進行剖析，希望同學們引以為戒.

一、概念理解不清

例1判斷：

（1） 無理數都是無限小數.（）

（2） 帶根號的數都是無理數.（）

（3） -3是9的平方根.（）

錯解：（1） ×（2） √（3） ×

分析：（1）錯解原因在于對無理數的概念理解不清，分不清無限小數與無理數的關系.由無理數的定義“無限不循環小數叫做無理數”，可知無理數是無限不循環小數，因此無理數都是無限小數. 注意分清無限小數與無理數的范圍，無限小數范圍大，無理數范圍小，無理數屬于無限小數，但無限小數不一定是無理數.

（2） 判斷無理數的根據是無理數的概念，而不是數的表面形式. 帶根號的數分兩種情況：一種是被開方數能開方開盡的，是有理數，如= - 3，則 是有理數；另一種是被開方數是開方開不盡的（是無限不循環小數），是無理數，如 不能再化簡，因此是無理數. 所以此題的說法錯誤.

（3）錯解原因在于對平方根的定義不能正確理解. 根據平方根的定義，“如果一個數x的平方等于a，那么這個數x叫做a的平方根”，因為（ - 3）2 = 9， 所以 - 3是9的平方根，因此此題正確. 同理，3也是9的平方根，也可以說3與 - 3 都是9的平方根. 但反過來，只能說9的平方根是3與 - 3（此時必須是兩個）.

正解：（1） √（2） ×（3） √

點評：對于數學中的定義，一定要抓住其要點，準確理解，這樣才能在有關概念的判斷題中作出正確判斷.

二、符號認識不清

例2填空：如果 的平方根是 ± 3，那么a = .

錯解：9.

分析：由于9的平方根是 ± 3，因此= 9，即a的算術平方根是9，而不是a是9，所以a = 81. 同學們產生錯誤的原因在于沒有認真審題，對算術平方根的符號認識不清，混淆了a與 .

正解：81.

三、性質理解不清

例3填空：的平方根是 .

錯解：3.

分析： 表示729的立方根，= 9，9的平方根是 ± 3，即 的平方根是 ± 3. 錯誤的原因是對平方根的性質理解不透，由于互為相反數的兩數（非零）的平方相等，所以正數有兩個平方根，它們互為相反數，即正數開平方運算的結果有兩個，這一點一定要記清.不少同學往往容易丟掉負的平方根，而導致解題結果不完整.

正解： ± 3.

例4若（a2 - 3）2 + b2 - 5 = 0， 分別求a，b的值.

錯解：由題意，得a2- 3 = 0，b2 - 5 = 0.

解得a = ≈ 1.73，b =≈ 2.24.

分析：此題解法的錯誤之一是丟掉了負的平方根，錯誤之二是將結果取近似值，實際上此題對于最后的結果沒作要求，不必求出結果的近似值，應取準確值.

正解：由題意，得a2 - 3 = 0，b2 - 5 = 0.

解得a = ±，b =±.

四、忽視被開方數的取值范圍

例5解方程 ? - 2 = 0.

錯解：化簡，得x - 2 = 0.

故x = 2.

分析：錯解原因在于忽視算術平方根中被開方數的取值范圍為非負數.此題中由x - 3 > 0知x > 3.所以x = 2不是方程的解.

正解：方程無解.L

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”