九問無理數

孫　虹

１． 為什么要研究無理數？

答：從有理數到無理數，是數的范圍的一次重要擴充．如果只有有理數，一些簡單的幾何圖形都無法研究．例如，我們將無法表示出邊長為１的正方形的對角線長、圓的周長和面積，甚至連簡單的方程ｘ２ ＝ ２都無法求解．

２． 無理數與有理數有什么區別？

答：主要區別有兩點．一是把無理數與有理數都寫成小數形式時，無理數只能寫成無限不循環小數．根據這一點，數學家把無理數定義為“無限不循環小數”；而有理數能寫成有限小數或無限循環小數．比如 ＝１．４１４ ２…，?仔 ＝ ３．１４１ ５９２ ６…．二是所有的無理數都不能寫成兩個整數之比，而所有的有理數卻都可以寫成兩個整數之比．根據這一點，數學家把無理數叫做“非比數”，而把有理數叫做“比數”．因此所有的有理數都可以表示成分數的形式，而無理數則不能．這里分數的分子與分母都是整數，且分母不能是０．

３． 怎樣把一個無限循環小數化成分數？

答：下面給同學們介紹一種簡單的方法．

設ｘ ＝ ０．３６３ ６…，則１００ｘ ＝ ３６．３６３ ６…（一個循環節有２個數字乘１００，有３個數字就要乘１ ０００，…）．后式減去前式，得９９ｘ ＝ ３６．所以ｘ ＝，即０．３６３ ６… ＝．

４． 無理數是不是包括正無理數、０、負無理數？

答：由于受到思維定勢的影響，有些學生錯誤地認為正無理數和負無理數之間應有０，殊不知０是有理數，而不是無理數．因此，關于無理數的分類，只有正無理數和負無理數兩類．

５． 帶根號的數都是無理數嗎？

答： 其實就是有理數２， 也是有理數２，可見帶根號的數不一定是無理數．當然，帶根號的數有許許多多都是無理數，例如 、 、 、 等．它們都有一個共同的特點，那就是開方開不盡．

６． 無理數都是用根號形式來表示的數嗎？

答：圓周率π是無理數，但它并不是用根號形式表示的；又比如０．１０１ ００１ ０００ １…（小數點后每兩個１之間依次增加一個０）也是無理數，但它也是不帶根號的無理數．

７． 無理數與有理數的乘積是無理數嗎？

答：任何無理數與0相乘其積仍為0，故無理數與有理數之積不一定是無理數．但是無理數與有理數的和（或差）一定是無理數．

８． 兩個無理數的和、差、積、商仍是無理數嗎？

答：兩個無理數的和、差、積、商不一定是無理數．如（－ ）＋ ＝ ０， － ＝ ０，２ ? ＝ ６， ＝ ２，這些計算結果都是有理數．

９． 數的范圍從有理數擴充到實數以后，還有什么需要強調說明的？

答：（１）在實數范圍內與在有理數范圍內一樣，可以規定一個數的相反數和絕對值，可以比較數的大小．這些與在有理數范圍內的意義是一樣的．

（２）有理數的運算律和運算性質，在實數范圍內仍然成立．

（３）在有理數范圍內，總能進行四則運算和乘方運算，在實數范圍內，不僅總可以進行四則運算和乘方運算，而且正數和零總可以進行開平方運算．

（４）同學們在學習有理數時，知道有理數總可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點不一定表示有理數．引進無理數之后，有理數擴充到了實數，實數和數軸上的點是一一對應的．L

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