實數(shù)大小巧比較

陳鵬飛

“實數(shù)”是初中數(shù)學的重要內容之一，也是學好其他知識必不可少的基礎．實數(shù)的大小比較又是中考及數(shù)學競賽的常見題型，不少同學感到困難．為幫助同學們掌握好這部分知識，本文介紹幾種比較實數(shù)大小的常用方法，供同學們參考.

一、數(shù)軸比較法

根據(jù)數(shù)軸的性質“實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應”，“在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大”，利用數(shù)形結合來進行比較.這種方法特別適用于同時比較多個實數(shù)的大小.

例1用“＜”連接下列各數(shù)：-，0.4，-，0，2 ，-，- 2.5.

解析:將以上各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，圖略.

根據(jù)“在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大”，得

- 2.5 ＜ - ＜ - ＜ 0 ＜ 0.4 ＜ - ＜ 2 .

二、法則比較法

根據(jù)實數(shù)大小比較法則“正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”來進行比較，這是比較實數(shù)大小最常用的方法.

例2在下列兩個數(shù)之間填上適當?shù)牟坏忍?

（1） - ；（2） -－ .

解析:（1）因為 - ＜ ０，＞ ０，根據(jù)正數(shù)大于一切負數(shù)，得到- ＜．

（2）-≈1.57，-≈1.4１.

由于1.57 ＞ 1.4１，根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”得到 - ＜ - .

三、分子（分母）比較法

比較分數(shù)大小時，根據(jù)正數(shù)間“分子（分母）相等，分母（分子）大的反而?。ù螅眮磉M行比較.

例3用“＜”連接下列各數(shù)：-，-，-，-.

解析:本例若將各數(shù)化成同分母，運算量很大，過程復雜煩瑣，可考慮將它們化成同分子來比較：- = -，- = -，- = -．由于＞ ＞ ＞，再根據(jù)兩個負數(shù)絕對值大的反而小，得

- ＜ - ＜ - ＜ -，即 - ＜ - ＜ - ＜ -.

四、作差比較法

根據(jù)“當a - b ＞ 0時，a ＞ b；a - b = 0時，a = b；a - b ＜ 0時，a ＜ b”來比較.

例4在下列兩數(shù)之間填上適當?shù)牟坏忍枺?/p>

（1） ；（2）3 -- 2．

解析:（1）因為作差比較有- = === -＜ 0，所以＜．

（2）因為（3 -） - （- 2） = 5 - 2= （-）2 ＞ 0，所以3 - ＞ - 2.

五、作商比較法

根據(jù)“a，b均為正數(shù).當＞ 1時，a ＞ b；當= 1時，a = b；當＜ 1時，a ＜ b”來比較.

例５在下列兩數(shù)之間填上適當?shù)牟坏忍枺?/p>

（1） --；（2）--.

解析:（1）由÷ = × ＝ ＜ 1，得＜．再根據(jù)兩個負數(shù)絕對值大的反而小，得 - ＞ -．

（2）

六、倒數(shù)比較法

根據(jù)兩正數(shù)間“若＞，則a ＜ b”來比較兩實數(shù)的大小.

例6在下列兩數(shù)之間填上適當?shù)牟坏忍枺?/p>

解析:（1）= 10 +，= 10 +．

由于＞，所以＞.則＜，再根據(jù)兩個負數(shù)絕對值大的反而小，得到 - ＞ -.

（2）= ＋，

七、加數(shù)比較法

根據(jù)“由a + c ＞ b + c可得a ＞ b”來比較兩實數(shù)的大小.

例7用“＜”把下列各數(shù)連接起來：- ，- ，- ，- .

解析:由于所給各數(shù)的絕對值都與1比較接近，所以將各數(shù)都加上1，得到

- + 1 =， - + 1 =， - + 1 =，- + 1 =.

顯然＜ ＜ ＜，所以 - ＜ - ＜ - ＜ -.

八、指數(shù)（底數(shù)）比較法

根據(jù)“a ＞ b ＞ 0，ｎ為正整數(shù)，則an ＞ bn”或“若N ＞ 1，a ＞ b，則Na ＞ Nb”比較兩實數(shù)的大小.

例8（1）350，440，530的大小關系為（）.

A. 350 ＜ 440 ＜ 530 B. 530 ＜ 350 ＜ 440

C. 530 ＜ 440 ＜ 350 D. 440 ＜ 530 ＜ 350

（2）8131，2741，961的大小關系為（）.

A. 8131 ＜ 2741 ＜ 961 B. 8131 ＜ 961 ＜ 2741

C. 2741 ＜ 961 ＜ 8131 D. 961 ＜ 2741 ＜ 8131

解析:（1）化成同指數(shù)，通過比較底數(shù)的大小來比較冪的大小.

350 = （35）10 = 24310，440 = （44）10 = 25610，530 = （53）10 = 12510.

因為25610 ＞ 24310 ＞ 12510，所以530 ＜ 350 ＜ 440．

故應選B.

（2）化成同底數(shù)，通過比較指數(shù)的大小來比較冪的大小.

8131 = （34）31 = 3124，2741 = （33）41 = 3123，961 = （32）61 = 3122.

因為3124 ＞ 3123 ＞ 3122，所以961 ＜ 2741 ＜ 8131．

故應選D.

九、中間值比較法

根據(jù)“若a ＜ b，b ＜ c，則a ＜ c”來比較兩實數(shù)的大小.

例9比較 -1與 +1的大小．

解析: - 1 ＜ - 1 = 45 - 1 = 44，+ 1 ＞+ 1 = 43 + 1 = 44.

所以- 1 ＜ + 1.L

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”