用機器證題

張景中　彭翕成

初中同學中的“數學迷”們，誰不喜歡幾何哩.

幾何證題，變化萬千.看起來似乎難以下手的一道題，只要在圖上添上適當的輔助線，往往就云開霧散，妙趣橫生.

正因為幾何證題變化萬千，所以也就不好做.難就難在看不出一般的規律.

例如，在△ABC中，已知AB = AC，∠ABC、∠ACB的平分線為BD、CE.求證BD = CE.如圖1，這只要證明△DBC≌△ECB（ASA），問題便可迎刃而解.可是，把已知和求證交換一下，這一換，問題就難多了.

100多年前，德國數學家雷米歐司公開提出了這個問題.他說，幾何題在沒有證明出來之前，很難說它是難還是易.等腰三角形兩底角的角平分線相等，初中學生都會證.可是反過來，已知三角形的兩條角平分線相等，要證它是等腰三角形，可就不好證了.

后來，德國著名數學家史坦納解決了這個問題，使它成為一個定理，叫做史坦納-雷米歐司定理.

經過名人一做，這個問題也就出了名.有一個數學期刊還曾經公開征求這條定理的證明，收到了形形色色的證法.他們經過挑選和整理，得到了60多種證法，編印成了一本書.

到了20世紀60年代，有人用添圓弧的辦法得到了一個十分簡單的證法.從雷米歐司提出問題到找到這個簡單的證法，竟過了100年之久.而且，人們找到了60多種證法，偏偏沒有發現這個簡單的證法.可見，幾何證題的變化實在是太多了.

幾何證題既然這么千變萬化，人們自然會想：能不能找到一個固定的方法，不管什么幾何題到手，都可以用這個方法一步一步地做下去，最后，或者證明它，或者否定它呢？

19至20世紀的大數學家希爾伯特證明：有一類幾何題，可以用一種統一的方法，一步一步地得到最后解答.后來，數學家塔斯基證明：所有的初等幾何命題，都可以用機械方法找到解答.可是，他的方法太復雜了，即便是使用高速電子計算機，也只能證明一些很平常的定理.

我國著名數學家吳文俊，提出了用機器證明幾何定理的方法.他用到了我國古代的數學思想和方法.用這個方法，可以在計算機上證明許多相當復雜的定理，還能證明高等數學中許多微分幾何的定理.

用機器證明幾何定理，主要的思路是用坐標方法，把幾何問題轉化成代數問題來解決.要是你有志將來研究這方面的問題，從現在起就應該好好學習幾何、代數和解析幾何的基礎知識了！