勾股定理在生活中的應用

崔艷峰

勾股定理源于生活,貼近現實.它不但揭示了直角三角形三邊之間的數量關系,把數與形結合起來,而且可以解決許多與實際生活緊密聯系的問題.現舉例說明.

一?測量問題

例1 老師要求同學們測量學校旗桿的高度.小明發現旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1 m.當他把繩子的下端拉開5 m后,發現繩子下端剛好接觸地面.你能幫小明求出旗桿的高度嗎?

分析: 根據題意,可以把旗桿與地面看成一個直角三角形的直角邊,繩子當做斜邊.先設出繩子的長,然后利用勾股定理列出方程求解.

解:如圖1,設繩子AB長為x m,則旗桿的高度AC為(x - 1) m.在Rt△ABC中,由勾股定理,得

AC2 + BC2 = AB2,即(x - 1)2 + 52 = x2.

解得x = 13,則x - 1 = 12.故旗桿的高度為12 m.

說明: 測量某些建筑物的高度時,常利用勾股定理列方程求解.

二?地毯花費問題

例2 如圖2,如果在高為3 m?斜坡長為5 m的樓梯表面鋪地毯,則至少需要多少米長的地毯?若樓梯寬2 m,每平方米地毯需要30元,那么購置地毯至少需要花費多少錢?

分析: 樓梯水平方向的長度和為AC,豎直方向的長度和為BC,要求地毯的長度,只需利用勾股定理先求出AC,再求AC + BC即可.

解:在Rt△ABC中,AC2 + BC2 = AB2,所以AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16 = 42.

所以AC = 4 m.故地毯長度至少為AC + BC = 4 + 3 = 7(m).

所以地毯總面積為7 × 2 = 14(m2),花費至少為30 × 14 = 420(元).

說明: 解決本題的關鍵是構建數學模型,即直角三角形,并且借助勾股定理求出AC的長.

三?臺風預測問題

例3 據氣象臺預報,一個由南向北移動的臺風,其中心在A市南偏東45°方向,且離A市 400 km的B地登陸.已知在距臺風中心260 km的范圍內都會受到臺風侵襲,那么A市會不會受到此次臺風的侵襲?為什么?

分析: 本題提供了較多的文字信息,需要在閱讀的基礎上提煉出有用的信息.要想知道A市是否會受到臺風的侵襲,關鍵是看當臺風到達A市的正東方向時(這時臺風最接近A市),A市是否在臺風的侵襲范圍內.

解:如圖3,過點A作AC⊥BC,垂足為C,則AB = 400 km,∠CAB = ∠CBA = 45°,△ABC是等腰直角三角形.

由勾股定理,得AC2 + BC2 = AB2,即2AC2 = AB2,所以AC == = 200≈282.8(km),AC > 260 km.

故A市不會受到此次臺風的侵襲.

說明: 這類“影響范圍”的問題,常常要作有關直線的垂線,從“最短距離”處進行判斷.

四?航海問題

例4 一艘輪船A以16海里 / 時的速度離開港口O向西南方向航行,另一艘輪船B同時以12海里 / 時的速度離開港口O向東南方向航行,則1.5 h后兩輪船相距多遠?

分析: 根據題意畫出圖形,得知兩輪船航線的夾角為90°.分別求出兩輪船航行1.5 h的路程,再根據勾股定理求出兩輪船的距離.

解:如圖4,東南方向即南偏東45°,西南方向即南偏西45°,故兩輪船航行的方向OA?OB的夾角為直角,OA = 16 × 1.5 = 24(海里),OB = 12 ×1.5 = 18(海里).

連接AB,在Rt△AOB中,由勾股定理得AB2 = OA2 + OB2 = 242 + 182 = 900,所以AB = 30海里.

所以1.5 h后兩輪船相距30海里.

說明: 解決此問題的關鍵是畫出正確的圖形,并利用方位角的概念發現特殊角.然后找出直角三角形,應用勾股定理來解題.L

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文