“有理數的運算”教材分析與教學建議

李樹臣　黃田田

有理數的運算是應用最廣泛的一種基本運算，它是初等數學的重要內容，是今后將要學習的實數運算、整式運算、分式運算、二次根式的運算等運算的基礎. 同時它還是學習其他學科的必備的知識. 因此，加強有理數的運算的研究與教學具有重要的意義. 本文以青島出版社和泰山出版社出版的《義務教育課程標準實驗教科書》（以下簡稱《教科書》）為例，就“有理數的運算”的教學目標的設計、內容的呈現形式及教學建議等進行分析，以幫助一線教師更好的教好這一內容.

1 教科書分析

1.1 內容分析

1.1.1 本章的知識結構

1.1.2 本章涉及的數學思想方法

①分類思想

本章在有理數的加法法則、乘法法則、乘方運算的符號法則等內容時，都是按有理數分成正數、負數、0三類分別研究的.

②數形結合思想

本章中有理數加法法則就是利用數軸，運用數形結合的方法經過探究得到的. 借助于數軸的直觀性，可以較容易的理解和掌握.

③化歸思想

本章中，有理數的減法就是利用“相反數”這一概念轉化為加法來運算的，得到了減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數. 這一轉化，使得加、減得到統一；有理數的除法就是利用“倒數”轉化為乘法來運算的，得到了除法法則：除以一個數，等于乘以這個數的倒數. 從而使得乘、除法得到了統一.

1.1.3 本章的重點、難點和關鍵

有理數的運算貫穿于本章的始終，其中主要是有理數的加法和乘法，有理數的減法和除法分別可以轉化為加法和乘法，所以有理數的加法和乘法的法則以及運算律是本章學習的重點.

在重點內容中的異號兩數相加和兩個負數相乘，比較抽象，不容易進行直觀的理解，所以異號兩數相加的法則和兩個負數相乘的法則是同學們學習中第一個的難點. 另外，把有理數的加減混合運算式寫成省略加號的和的形式是本章的另一個難點.

克服難點的關鍵有三：一是引導學生搞清楚有理數的加法與減法、乘法與除法互為逆運算，并且加減運算可以統一為加法，乘除運算可以統一為乘法的算理；二是在實際應用中加深對這些法則的理解，增強應用意識；三是在解決問題的過程中注意滲透數形結合的思想和轉化的思想.

1.1.4 課時安排

本章內容安排在七年級上學期學習，本冊教科書共8章，其中“有理數的運算”是第3章，包含5節內容，計劃用11課時完成，分別是：

3.1有理數的加法與減法，3課時

3.2有理數的乘法與除法，3課時

3.3有理數的乘方，2課時

3.4有理數的混合運算，1課時

3.5利用計算器進行簡單的計算，1課時

回顧與總結，1課時.

1.2 教學目標的設置體現了新課程的價值要求

教科書遵循《全日制義務教育數學課程標準》（實驗稿）（以下簡稱《標準》）的理念，是從以下四個方面落實課程目標的：

知識技能：（1）經歷探索有理數的運算法則的過程、掌握有理數的加、減、乘、除運算；（2）理解乘方的意義，掌握有理數的乘方運算及簡單的混合運算（以三步為主），會用科學記數法表示絕對值大于10的有理數；（3）理解有理數的運算律，能運用運算律簡化運算；（4）能運用有理數的運算解決簡單的實際問題；（5）能用計算器進行有理數的四則運算.

數學思考：（1）在探索有理數的運算法則的過程中，培養學生分類、歸納、概括能力，培養他們敢于作出合理的推斷和猜想的精神；（2）在具體的有理數運算中靈活運用運算律，發展思維能力.

解決問題：（1）在探索有理數的運算法則的過程中，培養主動提出問題的精神，并能用自己的語言清楚地表達獲得的結果；（2）在具體進行有理數的運算中，能說出算理；（3）通過反思，獲得解決有理數運算問題的經驗；（4）遇到問題能獨立提出自己的計算方法，并善于和同伴進行交流.

情感與態度：（1）通過豐富的數學活動，從中發現問題，探索有理數運算的規律；（2）敢于面對計算中的困難，并積極創造條件克服困難；（3）主動參與有關計算問題的討論，敢于發表自己的見解.

從以上的描述可以看出，對目標的要求不只停留在知識技能方面，而且還特別注重了讓學生參入數學活動的過程性方面. 注重了數學應用意識的形成和培養，將教學目標的實現有機的融入到精心設計的情境中、過程中和應用中. 所以說上述目標涵蓋了數學課程目標的各個緯度，體現了新課程的價值追求.

1.3 教科書的編寫特點

科書為了落實上述目標，以《標準》為依據，呈現出“問題情境——建立模型——求解、應用和拓展”的教科書編排體系，就本章而言有以下特點：

1.3.1 以三門峽大壩為背景，提出挑戰性的問題

為了使學生經歷知識的形成與應用過程，體驗到有理數的運算與現實生活的密切關系，全章以三門峽大壩為背景，以真實的數據和富有挑戰性的問題，來激發學生的學習興趣，調動學生思考問題的積極性，引出本章的主要內容和所要研究的主要問題. 同時通過雄偉的三門峽大壩激發學生對祖國大好河山的熱愛，增強學生的民族自豪感和努力學習的決心.

1.3.2 創設問題情境，引導學生探究得到有理數的運算法則

關于有理數的運算法則，教科書都是通過創設一定的富有實際意義的問題情境，讓學生在探索活動中得到的. 例如，在給出有理數的加法法則之前，教科書給出了海上鉆井平臺記錄潮起潮落的情況，以這一實際問題為例，利用海水漲落的6種不同的情境，引導學生在已有的算術數的加法意義和對正負數的認識的基礎上，列出含有正、負數和0的算式，自己得到運算結果. 為幫助同學們理解運算結果的合理性，教科書針對上面的六個問題，分別用點在數軸上位置的變動進行說明，讓同學們體會運算法則的合理性.

1.3.3 以數學思想方法為主線串聯本章內容

在本章主要涉及三種數學思想方法，其中最為突出的是轉化的思想，在有理數的加減、乘除運算中都體現了轉化思想，在對有理數的混合運算中，首先要將減法轉化為加法，將除法轉化為乘法，然后再按照有關的運算法則和運算律進行計算. 這樣處理既有助于引導學生關注數學知識之間的聯系，更有助于學生數學素質的提高.

1.3.4 以解答實際問題為落腳點，培養學生解決問題的能力

教科書從生活、生產中選取了豐富、鮮活的素材，通過呈現多個現實問題情景的形式，給出了具體的問題，如股票的漲跌情況、足球隊比賽情況、黃河水位的變化等實際問題，讓學生嘗試用有理數運算的知識解答這些發生在學生身邊的問題. 這樣安排一方面可以把進行有理數運算的技能訓練與實際問題的解決融為一體，提高了學生的解題技能；同時學生在列算式解答它們的過程中，體驗到建模思想. 充分落實了《標準》中關于“數學作為一種普遍適用的技術”的理念.

1.3.5 利用計算器解答有關復雜的計算問題

為了使學生從繁雜的運算中解放出來，把更多的時間和精力放到更有意義的數學活動中，教科書鼓勵學生使用計算器.

2 學情和學法分析

2.1 學生在學習中常見的認識誤區和思維障礙

2.1.1 同學們在做有理數的加減混合運算的題目時出錯

解答加減混合運算常出現的錯誤主要是：在把減法運算轉化為加法運算時，在“相反數”上往往出錯；在交換加數的位置時，忽視了要連同加數前面的符號一起交換的要求.

2.1.2 在兩個有理數的乘（除）法運算中，不能正確地確定符號

在有理數的乘除法運算中，首先要確定符號，其次是計算大小. 在確定符號時，應根據“兩數相乘或除，同號得正，異號得負”的原則確定. 初學的同學往往混淆有理數的乘法法則和加法法則，把“兩數相乘，同號得正，異號得負”錯誤的理解為“同號兩數相加，取相同的符號”.

2.1.3 錯用運算律

在利用乘法對加法的分配律時，常出現的問題有二：忘記用括號外面的項去乘括號內的每一項；符號出錯.

2.1.4 運算順序錯誤

同學們在進行有理數的混合運算時，有時出現運算順序不對的情況. 在加、減、乘、除、乘方組成的混合運算中，應先算第三級運算，再算第二級運算，最后進行第一級運算. 對于同一級運算，按照從左到右的順序進行這一法則. 初學的同學，印象不深，容易出錯.

2.2 學法指導

（1）有理數的運算與現實生活有著密切的聯系，引導學生學習有關的運算法則時，一定要從解決實際問題入手，抓住給出法則前的情境問題，讓學生思考如何解答這些問題，在解答這些問題的基礎上，歸納出運算法則.

（2）對于重點內容，鼓勵學生自主探究，在相互交流的基礎上，得到運算法則. 本章的重點內容是有理數的加法法則和乘法法則，對于這兩個法則，可通過分析情境問題的特點，然后概括出法則.

（3）在學生獨立思考的基礎上進行合作交流. 例如，學完加法法則后引導學生利用“相反數”的概念，把減法轉化為加法進行計算，從而得到減法法則，之后給出一些加減混合運算的題目，鼓勵學生自己獨立解答，然后進行相互交流，在相互交流中提高自己的解題能力.

（4）注重知識的應用. 有理數的運算有著廣泛的應用，在學生熟練掌握有理數的運算基礎上，引導學生解答一些與生活、生產有關的實際問題，這樣安排一方面強化了對運算法則的應用，培養了用所學知識解決實際問題的意識；另一方面，可以把有理數的運算的技能訓練與實際問題的解決融為一體，達到在解決實際問題的過程中，鞏固和提高學生進行有理數的運算技能的目標. 科學記數法更有應用的空間和素材，引導學生用它解答實際問題可加深對科學記數法的理解.

3 教學建議

3.1 結合學生的生活實際，通過具體問題情境進行教學

有理數的運算都有著具體的生活背景，特別是在應用題的教學中，教師一定要創設豐富的、有助于學生自主學習的問題情境，引導學生弄清實際問題的意義、理解實際問題，在分析、思考的基礎上正確的列出計算式子.

3.2 注重有理數運算法則的形成過程

有理數的加、減、乘、除、乘方等法則都是在解決實際問題的過程中產生的，注重過程教學是《標準》的要求之一，教科書就非常注重體現這一要求. 教學中我們要盡量引導學生參入這些法則的形成過程，讓學生在經歷法則的形成過程中理解法則，從而真正掌握運算法則.

案例1 有理數加法法則的歸納過程.

為了歸納有理數的加法法則，教師一定要引導學生進行兩次探究活動，首先利用海水漲落的6種不同的情境，列出含有正、負數和0的六個算式，學生通過探究自己得到運算結果. 然后通過點在數軸上位置的變動，再進行探究. 在探究這兩個活動的同時，就經歷了加法法則的形成過程.

3.3 重視轉化思想的滲透和應用

有理數的減法法則和除法法則，分別利用“相反數”和“倒數”概念化歸為加法法則和乘法法則，在這里“轉化”起著關鍵性的作用. 教學中一定要使學生知道減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，從而明白能進行轉化的道理.

案例2 有理數減法法則的教學過程.

引導學生思考：某足球隊在兩場比賽中共輸球3個，已知第一場輸球4個，第二場的輸贏情況如何？

如果將贏球記為正，輸球記為負，則第二場進球個數為：（-3）-（-4）=？

這是根據減法的意義得到的算式，根據題意.

第二場贏球1個，應有（-3）-（-4）=1.

另，根據有理數的加法，則有（-3）+（+4）=1.

由此可得:

3.4 注重學習方式的轉變，促進學生的個性發展

《標準》特別強調要改變學習方式，鼓勵學生自主發展. 為落實這一要求，在引導學生探索運算法則和運算律時，教師應設計并組織學生進行觀察、思考、探索、交流、發現等數學活動，讓學生在參入這些活動的過程中，鼓勵他們用自己的語言歸納出運算法則和運算律. 經過小組和全班的交流，逐步形成較為規范的語言，使學生真正理解用數學語言表達的運算法則和運算律的確切含義，會根據具體問題，運用相應的法則和運算律去處理.

案例3 加法交換律的歸納過程.

為了讓學生發現加法交換律在有理數范圍內仍然適用，可提出下面的問題讓學生進行討論與交流：

（1）（-8）+5和5+（-8）的運算結果相等嗎？

（2）（-3.5）+（-4.3）與（-4.3）+（-3.5）的運算結果相等嗎？

（3）任意選擇兩個數相加，試一試.

……

你能發現什么規律？請相互討論、交流.

（學生思考、議論、交流）

以上是筆者通過研究教科書和《標準》，對“有理數的運算”一章所作的教學研究，不妥之處敬請讀者批評指正，我們的目的只有一個，就是創造性地使用教科書，以它為平臺，提高學生的知識素養，促進學生全面、健康、和諧發展，這理應是我們廣大教師的責任和義務.