不可缺席的“位似變換”

現行的初中數學人教版新教材對幾何部分的內容做了很大調整，其中增設圖形的四個“變換”：平移、對稱、旋轉和位似這四個變換．相對于老教材，這四個“變換”提升了學生對幾何圖形的空間認識高度．在為近代數學中，“變換”是一個蘊涵豐富數學思想的數學概念，盡早出現在初等幾何中，是借助一個圖形與另一個圖形建立直觀、形象的對應關系，來形成對“變換”這一重要數學概念淺顯的數學認識，目的是為學生今后數學學習鋪下基石．

結合平時的教學，學生對“位似變換”的圖形意識要明顯次于前面三個“變換”；部分教師也認識到：由于自我對“位似變換”圖形意識的缺失，在啟發、引導學生解析幾何圖形時，往往疏忽它的存在和作用，影響到學生在解幾何題時，由于它的“缺席”，少了一把開啟解題思路的“利器”，關鍵時只能是望“題”興嘆．ネ1

例1 如圖1，已知正方形ABCD的BC邊與正方形CEFG的CE邊在一條直線上，線段BF和線段AF分別與線段CD相交于點M、N兩點．求證：MN=MC．

問題的產生背景和學生解題情況的分析：

該題產生于2008年中考第一輪復習模擬考試，命題意圖：考察學生對位似圖形的感悟．只要延長FG與AB交于點H,令AB=a，CE=b，由AB∥MN，點F可以看作位似中心，線段MN是線段AB按照相似比GFHF縮小而成, 即MN=GFHFAB=ba+ba=aba+b ．同理，由MC∥EF,點B看作位似中心軲C=BCBEEF=aa+bb=aba+b,所以MN=MC．

但是， 學生一旦遇到證明線段相等，念念不忘用“三角形全等”的知識來解決，結果是把圖畫成“蜘蛛網”也沒解決問題．可見平時學生雖然知曉什么是“位似”，僅局限于它所對應的最簡單、最基本的圖形里的數學認識：如知道經過位似變換的圖形與原圖形之間，有對應點在一直線上，對應角相等，對應線段平行并按相似比放大或縮小等，但是遇到具體的幾何問題，對有位似關系的對象就渾然不覺，只見樹木不見森林．ネ2

例2 如圖2，已知等腰△ABC與等腰△ECD的頂角∠BAC=∠CED,B、C、D三點在一直線上，頂點A、E在該直線的同一側，BE、AD分別與AC、CE交于點F、G，求證：CF=CG．

問題的產生背景與相關情況的分析：

原題△ABC和△ECD都是等邊三角形，呈現于一堂數學公開課，教師引入該題的目的：讓學生認識圖中有兩對可以由旋轉變換得到的三角形，△ACD→△BCE, △ACG→△BCF (按逆時針方向旋轉60°),在即將完成這一教學環節時,突然有學生向老師提出：一般等腰三角形也有“CF=CG”這個結論，教師明白這個學生的意思是只要這兩個等腰三角形頂角或底角相等就行．老師很高興，立即在黑板上重新畫圖，讓全體學生進行思考，時間一分一秒的過去，老師和學生都在沉思中不得其解，最后因時間關系，教師只得宣布將這個問題留于大家課后思考．課后，聽課組的老師回到辦公室都興奮地繼續討論這個問題，終于有教師找到證明方法：根據題設，可令AB=AC=a，EC=ED=b，易得△ABC∽△ECD，并令相似比為k，由題設可證：

FC∥ED，將點B視作位似中心軫C=BCDC+BCED=kDCDC+kDCED=k1+kb=ab1+abb軫C=aba+b．同理，由AB∥GC,點D看作位似中心軬C=aba+b．至此,大家猛然醒悟到：由于“位似”這一重要的數學圖形意識的缺失，導致解題思路困阻于：依賴“全等形”或“同一個三角形中‘等角對等邊”的解題模式．

筆者認為，解題時師生容易忽視“位似變換”解題作用的原因：①平移、對稱、旋轉這三個“變換”的圖形較為直觀，容易被“形”的直覺思維所捕捉或甄別，其中“數”的關系也相對單純，“對應相等”是主要的“數”的關系．雖然位似變換在單純的圖形里是不難被掌握，但在稍微復雜的幾何圖形中，“數”的關系就顯得較為隱蔽，如線段之間是按什么比例被放大或縮小，往往成為解析圖形時的“盲點”．又如“平行關系”雖然容易導出“位似關系”，但是，解題者往往最易先考慮圖形里的“角的關系”，如內錯角、同位角相等，除非解題目標就是關于三角形相似或成比例線段，解題者這時憑借執果索因，對幾何圖形做定向解析；②在學生平時所見識的圖形里，能融合前三個“變換”的圖形較為常見，對這類圖形的解析具備了相應的認識能力和解題經驗；③在學習“三角形相似”時，教師往往側重于數學圖形里的“對應關系”空間感的培養，易忽略位似圖形的“線段做平移變化時的縮放”空間感和“比例關系”的數感的培養，以至于造成對幾何圖形的解析能力不足．

下面給出幾例在“無相似”征兆情況下，解題時很難聯想到是會用“位似變換”來巧以解題的例子：

例3 如圖3，在等腰△ABC的兩腰CA和CB的延長線上任取D、E兩點，求證：DE>AB.

簡證 因為∠EDC+∠DEC=2∠BAC,所以可不妨假定∠EDC≥∠BAC,得到∠GDE≤∠DAB.

若∠GDE<∠DAB，過點A作AF∥DE且與CE于點F，因∠DAF=∠GDE<∠DAB，AF一定落在∠DAB的內部，以點C為位似中心，得AF=ACDCDE

由于底角∠ABC必是銳角，那么鈍角∠ABF>∠AFB，所以DE>AF>AB；

若∠GDE=∠DAB軩E∥AB軦B=ACDCDE

圖3圖4

評析 此題雖可以用余弦定理，借助代數、不等式變形技巧加以證明；也可先證明：過△DEC的外接圓的半徑R′大于過△ABC的外接圓的半徑R，得到DE=2R′sinC>2RsinC=AB. 但是相比之下，還是通過上述“位似變換”的證明方法更為簡潔、直接、明了，成功之處就是用“位似變換”得到AF，將它作為DE派遣的“使者”，造就了能與AB建立聯系進行比較的機緣，對圖形、解題條件的優化起到舉足輕重的作用．

例4 如圖4，在Rt△ABC中，點D是斜邊AB上的一點，P是線段CD的中點，已知∠BPD=∠DPA，求證：∠CDB=2∠BCD．

證題思路簡析：考慮到∠BPD=∠DPA，過點B作BM⊥PD，M為垂足，設BM與PA交于點H，過點H再作EF∥CD，分別與AC、AB

交于點E、F．由∠BPD=∠DPA和BM⊥PD推得CD垂直平分線段BH，所以∠BCD=∠HCD 或∠BCH=2∠BCD(1)．另由EF∥CD，以點A為位似中心，因P是線段CD的中點，CD經位似變換得到EF，點H應是線段EF的中點，且BH⊥EF，所以∠EBH=∠FBH．根據∠BHE=∠BCE=Rt∠，得點B、H、E、C同在以BE為直徑的圓上，所以∠EBH=∠HCE，可得∠FBH=∠HCE，進一步得出：∠CDB=∠BCH(2),由(1)、(2)證得∠CDB=2∠BCD．

評析 從已知條件布局：“直角”、“中點”和“等角”貫穿于CD“一線”，位置關系十分“僵硬”，如果證題思路無論側重于哪個條件本位出發，都無法實現解題條件的“優化組合”，形成不了解題的優勢“區域”．本題采用“位似變換”作為優化圖形和解題條件的手段，使分散的解題條件得以承接貫通，起死回生．誠然，優化幾何圖形的方法手段多種多樣，但是，“位似變換”對改變圖形中幾何元素的位置關系，保留“角”、“線段”等量關系或比例關系，尤其獨到之處，應收納為解析圖形一把“利器”，敏銳我們對幾何圖形思維視角，豐實我們的解題靈感．

例5 探究在梯形ABCD的兩底之間作一系列平行下底的平行線，任意兩組平行線與兩腰所夾的線段組成的梯形（如圖5中的梯形MNTS）對角線的交點的軌跡是什么？

探究1 采用運動變化的觀點．若平行線l1與l2不斷靠近，線段MN和ST就更接近相等,梯形MNTS也更近似于平行四邊形,點P就更靠近對角線ST或MT的中點，當MN與ST重合時，點P就成為它們的中點；

探究2 采用位似變換的觀點．當平行線l1與l2位置固定時，受探究1的啟發，過點P作GH∥l1且與梯形兩腰分別相交于點G、H，猜想：點P為GH的中點．

簡證 根據題設和作圖條件，可將S看作位似中心，GP是由MN按MGMS的比例縮小而成．同理可將T看作位似中心，PH是由MN按NHNT的比例縮小而成．根據l1∥GH∥l2軲GMS=NHNT,所以GP=PH．

ネ5圖6

探究3 仍采用位似變換的觀點．猜想：點P為代表的軌跡可能在一條直線上．

在圖6中，設點F為△OBC的BC邊上的中點，QR∥BC，點Q、R分別在OB和OC上，以點O為位似中心，點F經位似變換得到的點K應當是線段QR的中點，當QR作為平行線在OB、OC兩邊上滑動時，點K的軌跡就構成為△OBC的BC邊上的中線OF．回到圖5中去，延長梯形的兩腰，設交點為O，點O看作位似中心，就可以斷言：對角線交點的軌跡就是梯形兩底中點連成的線段，不過要除去端點E、F．

評析 該題的原貌是以證明題形式呈現，其給出的證明是過分依賴多組三角形相似，復雜的變式演繹宛如煙霧中變幻的魔術，不能適應學生對圖形不斷認識、漸進感悟過程，應改為探究題較為適宜；采用為似變換的觀點，圖中的線段、點的位置關系、依存關系、生成關系一目了然，對圖形的解析就能進入一個運動的、變化的、有機的、以及整體的空間觀的數學意識之中．

總之，筆者堅決反對將“位似變換”從屬于“三角形相似”的知識、方法內容體系，前者能帶給解題者迅捷、明晰、有效的解析圖形的方法策略，其個性鮮明，有強烈的空間意識，“三角形相似”雖然從內容體系上涵蓋了前者，因其泛化造成一定場合下，失去了剖析幾何圖形的鋒利，若不然，新教材增設“位似變換”還有什么意義？再者，“平行”與“位似”在平面幾何里形同手足，“平行”往往是幾何圖形隨處可拾的位置關系，我們就沒有理由忘記它還有一個十分能干的兄弟. 鑒于文章的篇幅，對“位似變換”在幾何作圖中的作用，就沒有加以舉證．

プ髡嘸蚪:凌云志，1965年5月生，安徽滁洲人.中學高級教師. 主要研究高、初中數學教研及高考、中考命題研究. 發表多篇論文，榮獲黃山區優秀知識分子稱號.