輔助線引法的類比激活策略

“類比就是相似比較.” 或者說類比就是類似比較.聯想是一種既有目的又有方向的想象,是由當前感知或思考的問題想起其它事物的心理活動. 所謂類比聯想是以類比為方法、以聯想為導向的探求規律和探索解題思路的策略.

1 降低難度的類比

所謂降低難度的類比(又稱簡化類比)是根據“簡單是真理的標志”和“以退求進” 的策略, 為了求證復雜的數學證明題, 而找與它有內在聯系的簡單類比題來證明, 把簡單類比題鉆深了, 看透了, 然后再去證明復雜問題就容易多了.

我們用類比聯想的方法不但構造了簡單類比聯想題(這是合情推理的猜想),而且還用論證推理證明了它. 正如G?波利亞說:“在求解所提出問題的過程中,我們經常可以利用一個較簡單的類比問題的解答;我們可能利用它的方法或者可能利用它的結果,或者可能三者同時利用”.^[1]

例1 如圖1, 在直線l一旁有平行四邊形ABCD, 且BE⊥l,AF⊥l,CH⊥l,DP⊥l,點E、F、G、H、P是垂足, 求證(1)EF=HP,EH=FP,(2) BE+AF+CH+DP=4OG.

ね1圖2

證明(1) 由AB=DC推出EF=HP, 又由AD=BC推出EH=FP.這是由于相等的平行線段, 其射影也相等.

(2) 連結BD、AC相交于O點, 作OG⊥l,G為垂足. 因為根椐平移變換,OG既是梯形AFHC的中位線, 又是梯形BEPD的中位線, 所以

OG=12(BE+DP),OG=12(AF+CH)2OG=12(BE+DP+AF+CH),推出BE+AF+CH+DP=4OG.

例2 如圖2, 從三角形的三頂點向形外一直線所引三垂線的和, 必等于重心向該直線所引垂線的3倍.

證明 一方面根椐重心的定義與性質，OE=13BE，可取OB之中點M，又根據平移變換的性質，AE=EC推出GP=PK，又由BM=MO=OE推出HN=NL=LP，EP與OL分別是直角梯形AGKC與MNPE的中位線，OL=12(MN+EP),EP=12(AG+CK)推出MN+EP=2OL2MN+2EP=4OL,但是2MN=BH+OL,2EP=AG+CK,AG+BH+CK+OL=4OL軦G+BH+CK=3OL.

例2到例1是一種類比猜想.

波蘭數學家斯?巴拿赫說：“一個人是數學家，那是因為他善于發現判斷之間的類似；如果能判明論證之間的類似，他就是一個優秀的數學家；可是，我認為還應當有這樣的數學家，他能夠洞察類似之間的類似.”

可以想象，從平行四邊形到平面三角形, 再到平面線段, 是類比, 則有“線段中點到另一條直線的距離等于線段兩端向該直線引垂線之距離和的2倍.”

從2倍到3倍再到4倍難道不是“類比猜想”到數學思維的“后證”的發現嗎！？

在例2中若三角形外的直線過垂心, 又可探索出什么結論呢? 讀者還可以看出“類比不但有發現真理、認識真理的認識論基礎,而且還有證明真理的方法論意義. ”又說“客觀事物之間的相似性和差異性是類比推理的邏輯基礎,相似性的存在提供了類比的可能性,而差異性的存在又限制著類比的范圍. 如果強調了事物之間的相似性而忽視其差異性,那么就會把類比視為萬能的“法寶”到處亂用;反之,如果片面地強調事物之間的差異性而忽視其相似性,那么就會陷入“不可知論”的泥坑.”^[2]

2 結構類比

所謂結構類比是指新的條件與結論與已經掌握的定理(或公理) 的條件與結論極其相似, 將它們進行類比, 即這種將要探討的問題與探討所需定理之間進行的類比叫做結構類比.

2. 1 條件聯想定理的結構類比

所謂條件聯想定理的結構類比是從已知條件聯想定理、公式, 通過由“由因導果” 的綜合法找到證題途徑, 從而使定理與本題產生結構類比的思想方法.

ネ3

例3 如圖3，已知⊙O的直徑為d,其內接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，垂足是E.求證:EA2+EB2+EC2+ED2=d2.

分析由于⊙O的直徑為d,其內接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD,垂足是E, 聯想起勾股定理, 由于DC與AB不在一個直角三角形中, 故必須添過圓心的直徑AOF, 連結CF,BF.

EA2+BE2=AB2,ED2+EC2=DC2,CF∥BD軩C=BF,DC2=BF2軪A2+BE2+ED2+EC2=AB2+BF2=AF2，

所求證的結論成立.

2. 2 結論聯想定理的結構類比

所謂結論聯想定理的結構類比是從結論聯想定理、公式, 通過由“執果索因” 的分析法找到證題途徑, 從而使定理與本題產生結構類比的思想方法.

例4 如圖4，兩圓外切于P，一直線交兩圓于A、B、C、D四點，求證：∠APD+∠BPC=180°.

分析1 由結論聯想到三角形的內角和定理，但是求證的兩個角彼此重疊在一起，添過P點的公切線PQ可將角分解代換：∠APD=∠APB+∠BPQ+∠CPQ+∠CPD，∠QPB=∠A，∠QPC=∠D，這是弦切角等于它所夾弧所對的圓周角，又由三角形外角定理有∠BCP=∠D+∠CPD，∠CBP=∠A+∠BPA，這表面上看是將角分散了，但是“分解與重新組合”，使求證：∠APD+∠BPC=180°的結論獲得了新生:∠APD+∠BPC=∠BPC+∠PBC+∠BCP=180°.

分析2 由結論聯想△APD的內角和定理，作過P點的公切線PQ，∠BPC=∠BPQ+∠CPQ，∠BPQ=∠A，∠CPQ=∠D，最后得出∠APD+∠A+∠D=∠APD+∠BPC=180°.

ね4圖5

例5 如圖5，兩圓相交于P，Q，一條外公切線切兩圓于A，B，求證：∠APB+∠AQB=180°.

分析 求證的結論類比聯想△QAB（或△PAB）的內角和定理, 用“分解與重新組合” 的方法, 用弦切角等于它所夾弧所對的圓周角，讀者可繼續思考下去, 可激活此題, 這當然也是用兩種方法都體現“類比激活策略”.

這兩個證明題都用到三角形的內角和定理, 它們的每一道題均屬結論聯想定理的結構類比; 但是, 這兩道題之間只是從兩圓外切到兩圓相交, 是形式類比.

2．3 條件與結論都聯想定理的結構類比

ネ6

例6 如圖6，在⊙O中,BA為直徑,AD是切線,BD、BF是割線, 分別交⊙O于C和E, 求證:BE×BF=BC×BD.

分析 由求證聯想到射影定理AB2=BE×BF,AB2=BC×BD,再由已知,BA為直徑,AD是切線,BF是割線,在Rt△ABD與Rt△BAF中,可知射影定理滿足條件, 得出BC×BD=BE×BF.

3 橫向類比

所謂橫向類比是指“被比較的對象的屬性不處于明顯的互相依存的狀態。”

3. 1 形式類比

所謂形式類比是兩個對象的關系相似或相同而引起的.形式類比又稱為關系類比.

例7 如圖8，是一個3×3的正方形,如圖7，是一個2×2的正方形.

(1) 在圖7中求∠4+∠5+∠7+∠8的度數?

(2) 在圖8中求∠1+∠2+∠3+…+∠9的度數?

分析 為求(2),用簡單類比方法必需先求(1)的結果;反之,從(1)到(2)是普遍化的策略,這是對圖形絕妙地觀察,即利用對稱性可得出簡潔的解題策略.

ね7圖8

解 (1):在圖7中,沿對角線對折,上下圖形完全重合,∠4+∠8=90°,∠5=∠7=45°蕁4+∠5+∠7+∠8=180°.

(2)在圖8中,沿對角線對折,左上邊的圖形與右下方的圖形也重合,∠1+∠9=∠2+∠6=∠4+∠8=90°蕁1+∠2+∠3+…+∠9=3×90°+3×45°=405°.

ケ糾的(1)是為(2)鋪墊的,不會解(2)時,可以退到(1),尋求方法. 正如華羅庚教授說:“要善于退,足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方是學好數學的一個決竅. ”

3. 2 方法類比

所謂方法類比是借助于過去的經驗、知識、技能、思想方法而進行類似比較的方法.

例8 如圖9,已知B、C、E在同一條直線上,△ABC、△DCE 都是等邊三角形, 且都在直線BCE的同側,AE,DB分別交CD、AC于G、F, 求證: △GFC是等邊三角形.

ね9圖10

證明 若設AB=BC=AC=a,DC=CE=DE=b可用聯系的設問①為什么FC∥DE?( 因為∠ACB=∠DEC=60°由同位角相等推出兩直線平行. )②用什么定理可得FCb=aa+b(平行線截得比例線段定理. )③如何將FC用a,b來表示?(FC=aba+b)④CG也能用同樣的表達式嗎? 為什么?(因為CG∥AB軨Ga=ba+b軨G=aba+b)⑤用什么公理可將所得的兩個表達式聯系起來?( 等量公理. )⑥既然CG=aba+b=CF,用什么定理可得△CFG是等邊三角形呢?( 頂角是60°的等腰三角形是等邊三角形).

例9 如圖10, 在△ABC中∠A=90°,以AB為直徑作半圓, 過C作半圓的切線CT,T為切點, TD⊥AB交CB于M.求證:TM=MD.

證明 過B點作圓的切線交CT于F, 設CA=CT=a,FB=FT=b, AC∥TD∥FB軲Da=BDBA=FTFC=ba+b軲D=aba+b,同理MT=aba+b，所以MT=MD.

例 9與例8 的證明方法多么相似, 故為方法類比.

4 因果類比

所謂因果類比是兩類事物在變化過程中, 由相似的原因“由因導果” 地推出相似的結果; 或者反之, 由相似的結果“執果索因” 地得出相似的原因的類比.

例10 在例7（2）中, 證明:∠1+∠2+∠3+∠6+∠9+∠8+∠7+∠4=360°.

可見例10與例7（2）是屬于因果類比.

綜上所述, 用類比的數學思想添輔助線或分析證題思路, 是溝通證題思路的行之有效的方法, 但要注意的是類比不等于證明, G?波利亞又說:“如果把這種猜測的似真性當作肯定性, 那將是愚蠢的, 但是忽視這種似真的猜測將是同樣愚蠢甚至更為愚蠢”^[3]這是用類比添輔助線的辯證評價.

げ慰嘉南

ぃ1］ G?波利亞著. 怎樣解題［M］. 北京:科學出版社,1984：43.

ぃ2］ 傅世球. 中學數學教學的藝術［M］. 長沙:湖南教育出版社,1989. 5.

ぃ3］ G?波利亞著. 怎樣解題［M］. 科學出版社,1982：43.