論新課標下數列高考復習的策略

郭勝光

新課改的四個實驗省區的學生，已于2007年6月參加新課程下的高考，縱觀新高考數學試卷的數列試題，筆者深深體會到：試卷緊扣新課標(以下簡稱《標準》)要求，在考察學生基礎知識和基本技能的同時，注重考察學生的創新能力.與《大綱》要求的高考數列試題對比，難度明顯降低.因此，《標準》下數列高考復習與《大綱》下數列高考復習要有所區分，要注意以下策略：

1 研究《標準》與《大綱》的聯系與區別

1.1 《標準》要求

(1)通過日常生活中的實例，了解數列的概念和幾種簡單的表示法(列表、圖象、通項公式)，了解數列是一種特殊函數.(2)等差數列、等比數列：①通過實例，理解等差數列、等比數列的概念.②探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式.③能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系和等比關系，并能用有關知識解決相應問題.④體會等差數列、等比數列與一次函數、指數函數的關系.

1.2 《大綱》要求

(1)理解數列的概念，了解數列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項.(2)理解等差數列的概念，掌握等差數列通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題.(3)理解等比數列的概念，掌握等比數列通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問題.

1.3 聯系與區別

從上述要求可以看出，《標準》與《大綱》相比，對數列內容的要求變化不大，即主干知識基本不變，最大的變化是《標準》突出了數列與函數的內在聯系，《大綱》比較注重數列中各參量之間的關系以及恒等變形.《標準》對數列內容的整體定位是：數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型.在數列的學習中，學生通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數列和等比數列這兩種數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題.

2 強化主干知識復習

通過《標準》與《大綱》對比，我們知道數列這一章的主干知識是：等差數列→等比數列→數列的通項及前n項和的求法.因此，高考復習中應抓住主干知識線，實施有效復習，幫助學生構建知識網絡.

2.1 等差數列{a璶}

(1)要求學生理解等差概念，掌握等差數列的通項公式，弄清等差數列與一次函數的關系.

利用等差概念容易得到：a2-a1=d,a3-a2=d,…,a璶-a﹏-1=d，將n-1個式子相加得：a璶=a1+(n-1)d輆璶=dn+(a1-d)，當d≠0時，a璶是關于n的一次函數，它的圖象是在一條直線上的離散的點.通項公式a璶=a1+(n-1)d可以進一步拓展為a璶=a璵+(n-m)d(n≥m).

(2)抓住等差數列的特征，掌握前n項和公式，弄清前n項的和與二次函數的關系.

等差數列{a璶}中，任意連續三項中，第二項是第一項和第三項的算術平均值，項數和相等的任意兩項和相等，由此，可得到前n項和公式S璶=n(a1+a璶)2=na1+n(n-1)2d.等差數列前n項和公式的推導，本質上是用了“倒序相加法”，這種求和方法在復習時一定要強化，并作適當拓展.由等差數列前n項和公式變形可得S璶=d2n2+(a1-d2)n，當公差d≠0時，S璶 是關于n的缺常數項的二次函數，它的圖象是在一條拋物線上的離散的點，利用這一結論， 可以解決求等差數列前幾項和最大(小)值的一類問題.

(3)強化“知三求二”的題型訓練.

作為高考復習，適當強化題型訓練是很有必要的，“知三求二”是等差數列的重要題型，所謂“知三求二”就是等差數列有五個參量：項數、通項、前n項和、首項、公差，只要已知這五個量中的任意三個，就可以利用通項公式和前n項和公式求出其余兩個.對于“知三求二”的題型訓練要適度，不要人為編造太難、太繁題目給學生做，這樣不僅增加學生負擔，而且淡化數學本質，以下例題的難度較為合適.

例1 已知{a璶}是等差數列，a10=10，其前10項和S10=70，則其公差=().

A.-23 B.-13 C.13 D.23

(2007年高考寧夏、海南卷試題)

解 由公式S璶=n2(a1+a璶)得：5(a1+10)=70，所以a1=4.又由公式a璶=a1+(n-1)d得：4+(10-1)d=10，所以d=23，選D.

2.2等比數列{a璶}

(1)要求學生理解等比概念，掌握等比數列的通項公式，弄清等比數列與指數函數的關系.

利用等比概念，容易得到等比數列的通項公式：a璶=a1q﹏-1，當q≠1時，a璶是關于n的指數型函數.在復習等比數列的通項公式時，可以把該公式拓展為：a璶=a璵q﹏-m(n≥m).

(2)抓住等比數列的特征，掌握等比數列前n項和公式及其推導方法.

設等比數列{a璶}的公比為q，若q=1，則S璶=na1，若q≠1，則S璶=a1+a1q+a1q2+…+a1q﹏-1 ①

qS璶=a1q+a1q2+…+a1q﹏-1+a1q琻②

①-②得S璶=a1(1-q琻)1-q.

對比數列前n項和公式的推導，用到的方法是“錯位相減”法，這種求和方法在復習時要重點強調，強化練習，力爭做到人人過關.

(3)控制“知三求二”題型的難度.

等比數列也有五個參量：項數、通項、前n項和、首項、公比.這五個參量有一定的聯系，表現為兩個基本關系a璶=a1q﹏-1，S璶=a1(1-q琻)1-q，由關系式知，只要已知這五個參量中的任意三個，就可以求出其余的兩個.因此，“知三求二”的問題，就是解方程組的問題.

值得注意的是，對于等比數列，“知三求二”的問題可能出現高次方程，這不在《標準》要求范圍之內.《標準》的要求只限制在直接用一元二次方程求解問題，因此，在復習等比數列“知三求二”問題時要注意控制難度，按《標準》要求復習.

例2 設數列{a璶}滿足a1+3a2+32a3+…+3﹏-1猘璶=n3,a∈N*.

(Ⅰ)求數列{a璶}的通項；

(Ⅱ)設b璶=na璶，求數列{b璶}的前n項和S璶.(2007年高考山東卷試題).

解：(Ⅰ)∵a1+3a2+32a3+…+3﹏-1猘璶=n3,①

∴當n≥2時，a1+3a2+32a3+…+3﹏-2?a﹏-1=n-13.②

①-②得3﹏-1猘璶=13,a璶=13琻.在①中，令n=1,得a1=13.∴a璶=13琻.

(Ⅱ)∵b璶=na璶,∴b璶=n3琻.∴S璶=3+2×32+3×33+…+n3琻,③

3S璶=32+2×33+3×34+…+n3﹏+1④

④-③得∴2S璶=n3﹏+1-(3+32+33+…+3琻).即2S璶=n3﹏+1-3(1-3琻)1-3,

∴S璶=(2n-1)3﹏+14+34.

例3 已知函數f(x)=x2+x-1,α，β是方程f(x)=0的兩個根(α>β),f′(x)是

ゝ(x)的導數.設a1=1,a﹏+1=a璶-f(a璶)f′(a璶)(n=1,2,…).(1)求α，β的值；(2)已知對任意的正整數n有a璶>α，記b璶=玪n玜璶-βa璶-α(n=1,2,…).求數列{b璶}的前n項和S璶.(2007年高考廣東卷試題)

解 (1)由x2+x-1=0，得x=-1±52,∴α=-1+52,β=-1-52.

(2)f′(x)=2x+1,a﹏+1=a璶-a2璶+a璶-12a璶+1=a2璶+12a璶+1.

a﹏+1-βa﹏+1-α=a璶2+12a璶+1+1+52a璶2+12a璶+1+1-52

=a璶2+(1+5)a璶+3+52a璶2+(1-5)a璶+3-52

=a璶+1+52a璶+1-522=a璶-βa璶-α2,

∴b﹏+1=2b璶.又b1=玪n玜1-βa1-α=玪n3+53-5=4玪n1+52,

∴數列{b璶}是一個首項為4玪n1+52,公比為2的等比數列.

∴S璶=4玪n1+52(1-2琻)1-2

=4(2琻-1)玪n1+52.

3 把握復習難度

《大綱》要求的高考試卷中，數列常以壓軸題的形式出現，以2007年高考為例，《大綱》要求的高考試卷共16份，其中以數列題為試卷最后兩題的共有15份，因此，傳統的高三數學總復習中，教師對數列部分的內容拓得很廣，挖的很深，復習的難度遠遠超過《大綱》及課本的要求.各種數學雜志也投其所好，發表了不少關于數列內容的文章，象炒股票一樣，把數列炒得火熱，而把數列本質的東西都拋棄了.難怪有的教師說，數列按《大綱》要求復習，高考很難拿到分數.

《標準》突出數列本質，在實行課改的四省市2007年高考命制的三份試題中，表現的非常突出.三份試題中，只有廣東卷把數列題作為壓軸題，考察的是等比數列的定義及求等比數列前n項和.寧夏、海南卷數列只作為選擇題考查(這在《大綱》教材高考中是不可能出現的)，兩道選擇題都是考查等差數列、等比數列的基礎知識，可以說只要課本知識掌握，解這兩道題是不成問題的.山東卷把數列題放在解答題第一題的位置，該題考察數列求通項與數列求和的基本方法(錯位相減法)，錯位相減法直接來源于課本中的等比數列前n項和公式的推導，學生非常熟悉，據統計該題的得分率較高.由此可見，新課標下數列高考復習要與時俱進，降低難度，特別是遞推數列求通項，不要深挖，把主干知識等差數列、等比數列復習好，將最基本的解題方法訓練好，還數列的本來面目.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”