一個優美不等式的推廣及證明

王明建　楊國增

文［1］給出了一對非常優美的姐妹不等式：

設a、b、c都是正數，且a+b+c=1，則有

(1b+c-a)(1c+a-b)(1a+b-c)≥(76)3 (1)

(1b+c+a)(1c+a+b)(1a+b+c)≥(116)3 (2)

當且僅當a=b=c=13時取等號.

文［2］給出了(1)的一個簡捷證明，本文把(1)推廣到更一般地情形：

設a璱(i=1,2,…，n)都是正數，且∑ni=1a璱=1，則有∏ni=1(11-a璱-a璱)≥(1+1n(n-1))琻 (3)

當且僅當a1=a2=…=a璶=1n時取等號.

證明：設a2+a3+…+a﹏-1+a璶=x1,a3+a4+…+a璶+a1=x2,…，a1+a2+…+a﹏-1=x璶,則易知∑ni=1x璱=n-1,及1-a1=x1,1-a2=x2,…，1-a璶=x璶,由均值不等式有11-a璱-a璱=1x璱+x璱-1=(n-1)2n2x璱+x璱-1+2n-1n2x璱≥2n-1n2x璱+n-2n,

當且僅當x璱=n-1n,即a璱=1n(i=1,2,…，n)時取等號.

再利用乘積型玀inkowski不等式［3］和均值不等式得

∏ni=1(11-a璱-a璱)≥2n-1n2n∏ni=1x璱+n-2n琻

≥2n-1n∑ni=1x璱+n-2n琻=(2n-1n(n+1)+n-2n)琻

=(n2-n+1n(n-1))琻=(1+1n(n-1))琻.

當且僅當a1=a2=…=a璶=1n時取等號.

顯然，(1)是(3)當n=3時的特例.

對于不等式(2)的推廣，我們還沒有獲得，期盼能早日見刊.

參考文獻

［1］魏烈斌.不等式中的一對姐妹花［J］.數學通訊.湖北.2007，(5).

［2］趙恩林，潘超.一個不等式的簡捷證明［J］.中學數學研究.江西.2007，(10).P12-13.

［3］匡繼昌.常用不等式［M］.山東科學技術出版社.山東.2004，(1).P10-11.

［4］朱華偉.一道數學奧林匹克問題的解法探討［J］.數學通報.2001，(7).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”