構(gòu)造平面解析幾何模型解題

宋　波

構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解題，是數(shù)學(xué)中解決問題的一種重要途徑，其主要思想是把問題“模型化”、“實物化”.通過模型的構(gòu)建，能將一個數(shù)學(xué)問題從一種抽象關(guān)系轉(zhuǎn)化成一種具體關(guān)系，因而便于整體性與創(chuàng)造性的處理.而平面內(nèi)兩點間的距離、直線的斜率、縱截距、點到直線的距離，圓錐曲線及其性質(zhì)等內(nèi)容是平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，有其特殊的幾何意義，同時也容易求解，是“數(shù)形”轉(zhuǎn)換的有效途徑.中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多問題，用常規(guī)方法較難解決，但通過構(gòu)造相關(guān)的平面解析幾何模型，凸現(xiàn)問題的內(nèi)在聯(lián)系，揭示問題的本質(zhì)，使問題變得簡單明了，易于解決.下面筆者就有關(guān)問題進行分類導(dǎo)析，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法，起到拋磚引玉的作用.

一、求集合運算關(guān)系中參數(shù)的取值范圍問題

例1 設(shè)集合M={(x,y)|y=16-x2},N={(x,y)|y=x+a},若M∩N=I，求實數(shù)a的取值范圍.

解析 集合M表示圓x2+y2=16在x軸上方的部分，集合N表示平行直線系y=x+a，若M∩N=I，即半圓與直線沒有公共

點，則構(gòu)造如圖1的模型求解.當直線與半圓相切時，由切線性質(zhì)可求得，a=42，當直線過A(4,0)時，a=-4，所以a的取值范圍 是(-∞,-4)∪(42,+∞).

點評 將兩集合之間的運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩曲線之間的關(guān)系，借助圖形求解，既簡單又直觀.

二、求無理函數(shù)的值域(最值)

例2 求函數(shù)f(x)=1-x2+2x-3的最大值和最小值.

解析 易知函數(shù)的定義域為［-1，1］，設(shè)

u=x,v=1-x2,則u2+v2=1(0≤v≤1)，

函數(shù)變?yōu)閒(x)=v-(-2)u-3,從而函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化成了圓心為O(0，0)、半徑為1的上半圓上的動點P(u,v)與定點Q(3,-2)連線的斜率最值，則構(gòu)造如圖2的模型求解.由平面解析幾何知識可知，A(-1,0),k〢Q=-2-03-(-1)=-12,設(shè)切線BQ的方程為y+2=k(x-3)，即kx-y-3k-2=0，而圓心O(0，0)到半圓的切線BQ的距離為1，即|3k+2|k2+1=1，解得k=-3+34,k=3-34(舍去).

根據(jù)圖2可知，k〣Q≤k㏄Q≤k〢Q,

所以f┆玬ax(x)=k〢Q=-12,

f┆玬in(x)=k〣Q=-3+34.

點評 對于形如f(x)=

ax2+bx+c-nx-m的函數(shù)最值(值域)，通過構(gòu)造平面解析幾何模型，可轉(zhuǎn)化為二次曲線(圓或圓錐曲線上的部分曲線)上的任一點與定點(m,n)連線的斜率最值，借助平面解析幾何知識求出邊界直線的斜率，使問題得以解決.

例3 (2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)求函數(shù)y=x+x2-3x+2的值域.

解析 易知函數(shù)的定義域為{x|x≤1，或x≥2}，設(shè)u=x，v=x2-3x+2=(x-32)2-14,則(u-32)2-v2=14(v≥0)，函數(shù)變?yōu)閥=u+v,從而函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化成了過位于橫軸上方的雙曲線上任一點P(u,v)的平行直線l:v=-u+y的縱截距的取值范圍，則構(gòu)造如圖3的模型求解.直線l有三個邊界位置：過點(1，0)的l1、過點(32，0)的l2、過點(2，0)的l3，由平面解析幾何知識可知，直線l1的縱截距為1、l2的縱截距為32、l3的縱 截距為2，故所求函數(shù)的值域為［1,32)∪［2,+∞).

點評 對于形如f(x)=kx+m±ax2+bx+c或f(x)=ax+b±cx+d的函數(shù)值域(最值)，通過構(gòu)造平面解析幾何模型，可轉(zhuǎn)化為過二次曲線(圓或圓錐曲線上的部分曲線)上任一點的平行直線的縱截距最值，借助平面解析幾何知識求出邊界直線的縱截距，使問題得以解決.

三、求三角函數(shù)的值域(最值)

例4 求函數(shù)y=玞osθ2玞osθ+1的值域.

解析 令u=玞osθ(-1≤u≤1，且u≠-12)，則原函數(shù)可變?yōu)閥=12v,且v=uu+12，從而函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化成了過線段v=u(-1≤u≤1,且u≠-12)上任一點P(u,u)與定點C(-12，0)連線斜率的取值范圍問題，則構(gòu)造如圖4的模型求解.由平面解析幾何知識可知，v≥k〢C=2,v≤k〣C=23,所以y≤13或y≥1.

例5 求函數(shù)f(x)=1+玸in玿3+玞os玿的最值.

解析 函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為過單位圓u2+v2=1上任一點P(-玞os玿,-玸in玿)與定點C(3，1)連線斜率的最值，則構(gòu)造如圖5的模型求解.由切線性質(zhì)可求得k〢C=0,k〣C=34，根據(jù)圖5可知，k〢C≤k㏄C≤k〣C，所以f┆玬ax(x)=k〣C=34,f┆玬in(x)=k〢C=0.

點評 對于形如f(x)=a玸in玿+bc玸in玿+d或ゝ(x)=猘玸in玿+bc玞os玿+d或f(x)=a玸in玿+b玞os玿+c的三角函數(shù)值域(最值)，通過構(gòu)造平面解析幾何模型，可轉(zhuǎn)化為過線段或圓上任一點的動直線在邊界位置時的斜率或縱截距最值，借助平面解析幾何知識，使問題得以輕松解決.

四、求約束條件下二元代數(shù)式的取值范圍問題

例6 若a,b∈R,a2+b2=0，則a+b的范圍是().

(A)［-25,25］

(B)［-210,210］

(C)［-10,10］

(D)［0,10］

解析 令a+b=t，則問題變?yōu)檫^圓a2+b2=10上任一點的平行直線系b=-a+t的縱截距的范圍問題，可構(gòu)造如圖6的模型求解.由切線性質(zhì)可求得-25≤t≤25，故選A.

例7 已知f(x)=ax2-c，且-4≤f(1)≤1,-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍.

解析 本題的實質(zhì)是：已知實數(shù)a,c滿足不等式組-4≤a-c≤-1,

-1≤4a-c≤5.求9a-c的最值，此即線性規(guī)劃問題，因此可以用線性規(guī)劃的方法求解.又目標函數(shù)為f(3)=9a-c，即c=9a-f(3)，作出可行域，如圖7所示.由圖7可知，目標函數(shù)c=9 a-ゝ(3)分別在A、C處取得最小值和最大值.由

4a-c=-1,

a-c=-1得

A(0，1)，由a-c=-4,

4a-c=5得C(3，7)，所以ゝ(3)┆玬in=9×0-1=-1,f(3)┆玬ax=9×3-7=20，故-1≤f(3)≤20.

點評 此類問題既可以用代數(shù)方法解，也可以用平面解析幾何知識去解，但用平面解析幾何模型求解具有直觀、簡捷的優(yōu)點.

五、解決三角函數(shù)中的求值問題

例8 已知玸in獳+玸in(A+B)+玞os(A+B)=3,B∈［π4,π］，求B的值.

解析 由已知可得(玸in獴+玞os獴)玞os獳+(1+玞os獴-玸in獴)玸in獳-3=0,構(gòu)造直線(玸in獴+玞os獴)x+(1+玞os獴-玸in獴)y-3=0和圓x2+y2=1，顯然點(玞os獳,玸in獳)既在直線上又在圓上，所以圓心(0，0)到直線的距離小于等于半徑，即|0-0-3|(玸in獴+玞os獴)2+(1+玞os獴-玸in獴)2≤1，得玞os獴≥玸in獴,又B∈［π4,π］，所以玞os獴≤玸in獴,得玞os獴=玸in獴，故B=π4.

點評 對各量關(guān)系不明確的問題，創(chuàng)造性地構(gòu)造與之相關(guān)的平面解析幾何模型，凸現(xiàn)各元素之間的內(nèi)在聯(lián)系，揭示問題的實質(zhì)，使問題變得簡單明了.

六、求含參方程的有解問題

例9 已知|x|=ax+1有一個負根，而且無正根，那么a的取值范圍是().

(A)a>1 (B)a=1

(C)a≥1 (D)非上述答案

解析 分別作出折線y=|x|和直線l:y=ax+1的圖象，當a=1時，得l1與y=x平行且與y=|x|交點在第二象限，如圖8所示，直線l繞定點P(0，1)轉(zhuǎn)動且夾在l1與y軸之 間時滿足題意，此時a≥1，故選C.

例10 (1989年全國高考題)當k在什么范圍取值時，方程玪og璦(x-ka)=玪og゛2(x2-a2)有解.

解析 原方程等價變形為：x-ka=x2-a2(a>0且a≠1)，分別作出平行直線系y=x-ka(y>0)與雙曲線y=x2-a2(y>0)的圖形，如圖9所示，直線與雙曲線要有交點，應(yīng)滿足：-ka>a或-a<-ka<0，即k<-1或0

點評 含參方程的有解問題是一類比較復(fù)雜的問題.用代數(shù)方法，一方面所涉及的情形較為多樣，另一方面，過程和運算又可能很煩瑣，需分類討論.構(gòu)造相應(yīng)的平面解析幾何模型，可能會直觀明了，大大減少運算步驟和解題量.

七、證明不等式

例11 求證：

x2-2x+5-x2-4x+5≤2.

解析 因x2-2x+5=

(x-1)2+(0-2)2可看作點P(x,0)與點A(1，2)的距離，x2-4x+5=(x-2)2+(0-1)2可看作點P(x,0)與點B(2，1)的距離，于是對此問題的證明轉(zhuǎn)化為求證x軸上的動點P(x,0)與兩定點A(1，2)、B(2，1)距離差的絕對值小于等于2，則構(gòu)造如圖10的模型求解.利用三角形兩邊之差小于第三邊知，﹟|PA|-|PB||≤|AB|=2，當P、A、B三點共線，直線AB與x軸的交點坐標為P(3，0)，即x=3時，上式取等號，所以x2-2x+5-x2-4x+5≤2.

點評 對于涉及x2+px+q±

x2+mx+n或x4+px2+qx+r±

x4+mx2+nx+k形式的不等式證明問題，通過構(gòu)造平面解析幾何模型，可轉(zhuǎn)化為動點(x軸或拋物線上)與兩定點距離和(差)的最值，利用三角形三邊關(guān)系定理證得.

例12 設(shè)x,y,z為實數(shù)，且0

解析 只需證玸in玿玞os玿+玸in珁玞os珁+玸in珃玞os珃<π4+玸in玿玞os珁+玸in珁玞os珃，則構(gòu)造平面解析幾何模型求證，如圖11所示，A(玞os玿,玸in玿),B(玞os珁,玸in珁),C(玞os珃,玸in珃)為單位圓x2+y2=1上三點，設(shè)圖中三個矩形面積分別為S1，S2，S3，則玸in玿(玞os玿-玞os珁)+玸in珁(玞os珁-玞os珃)+玸in珃玞os珃=S1+S2+S3<π4，所以原不等式成立.

點評 如能充分挖掘三角問題中所具有的圖形特征，正確有效地構(gòu)造平面解析幾何模型，明確反映各量之間的關(guān)系，就能準確快速地作出解答.

八、解含參不等式

例13 解關(guān)于x的不等式x2+4≤2+ax(a>0).

解析 因為y=x2+4表示雙曲線y2-x2=4的上半支，y=ax+2表示過定點(0，2)、斜率為a的直線系，則構(gòu)造如圖12的模型求解.當0

例14 關(guān)于x的不等式x

解析 y1=x表示拋物線y2=x在x軸上方的部分，y2=ax+32表示過定點(0，32)、斜率為a的直線系.

依題意知，當4y2，則構(gòu)造如圖13的模型可知，當x=4和x=b時，y1=y2，即4=4a+32和b=ab+32，解得a=18,b=36.

點評 解含參不等式，用構(gòu)造平面解析幾何模型的方法要比純代數(shù)的方法直觀和簡練，值得提倡.

九、解三角不等式(組)

例15 解不等式組：12<2玞osθ+玸inθ<1(θ∈R).

解析 考慮到(2玞osθ)24+玸in2θ=1,故可構(gòu)造橢圓模型來解.

設(shè)x=2玞osθ,y=玸inθ，則原不等式化為x24+y2=1,

12

1+21910

2+195

1-21910

即2-195<玞osθ<0

1+21910<玸inθ<1或

2+1910<玞osθ<45，

1-21910<玸inθ<-35.最后利用正弦線和余弦線可知原不等式的解集為：

(2kπ+π2,2kπ+π-玜rcsin1+21910)∪

(2kπ+玜rcsin1-21910,2kπ-玜rccos45)(k∈Z).

點評 本題雖可以直接運用輔助角公式化為一個角的三角函數(shù)方法去解決，但構(gòu)造橢圓模型的方法也有其優(yōu)點：直觀.

十、求解含參不等式恒成立問題

例16 對于滿足等式x2+(y-1)2=1的一切實數(shù)x,y，不等式x+y+c≥0恒成立，則實數(shù)c的取值范圍是().

(A)(-∞，0］ (B)［2,+∞)

(C)［2-1,+∞)(D)［1-2,+∞)

解析 由題意知：c≥-(x+y)恒成立，令

t=-x-y，由最值原理得：c≥t ┆玬ax,則原問題變?yōu)檫^圓x2+(y-1)2=1上任一點的平行直線系y=-x-t的縱截距的 最值問題，構(gòu)造如圖15的模型求解.由切線性質(zhì)可求得，t┆玬ax=2- 1，c≥2-1,故選C.

例17 設(shè)f(x)=x2-2ax+2，當x∈［-1,+∞)時，不等式f(x)≥a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解析 依題意，原不等式可轉(zhuǎn)化為x2+2≥2a(x+12)對x≥-1恒成立，則原問題變?yōu)椋寒攛≥-1時，拋物線y=x2+2的圖像不低于過定點P(-12，0)的直線系y=2a(x+12)的圖像問題，如圖16所示，此時有兩個邊界位置：與過點A(-1,3)的直線PA，拋物線的切線PB，由解析幾何的知識可得k㏄A=-6,k㏄B=2，于是有-6≤2a≤2,所以-3≤a≤1.

點評 含參不等式恒成立問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一類常見問題，因與最值有關(guān)，有時可以構(gòu)造平面解析幾何模型來解決.

綜上，構(gòu)造出合理的平面解析幾何模型解題，是“數(shù)形”轉(zhuǎn)換的有效途徑.一旦運用成功， 它呈現(xiàn)的是問題的本質(zhì)規(guī)律和數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.具有直觀、簡潔的特點，優(yōu)化了解題過程，給 人耳目一新的感覺.對于培養(yǎng)思維的敏捷性和創(chuàng)造性，具有重要的意義.

參考文獻

［1］徐國平.例談橢圓模型的運用.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2007，6.

［2］宋波.巧構(gòu)平面解析幾何模型求無理函數(shù)的最值.數(shù)學(xué)通訊，2007，8.

［3］詹才春.中學(xué)構(gòu)圖解題的幾類模型.中學(xué)數(shù)學(xué)，2006，6.

［4］蘆志新.約束條件下的運動直線問題，數(shù)學(xué)通報，2006，5.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”