王全武，虎 剛

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；

2.中國空間技術研究院，北京 100094）

飛輪振動頻譜特征的初步理論分析和驗證

王全武1，虎 剛2

（1.北京控制工程研究所，北京 100190；

2.中國空間技術研究院，北京 100094）

飛輪振動是影響衛星姿態控制精度的重要因素。通過理論分析的方法初步分析了飛輪振動頻譜的基本組成特征，其中包括滾動軸承的振動特性。理論分析表明，飛輪徑向振動頻譜中主要包括飛輪旋轉頻率成分及其高次倍頻成分。最后利用振動測量實驗數據驗證理論分析結果的合理性和準確性。

飛輪；振動；頻率成分

1 引 言

與其他執行機構相比，飛輪具有可靠性高、無污染、工作壽命長并且控制精度高等優點。因此，近年來發射的長壽命、高精度、高穩定度的衛星廣泛采用飛輪作為姿態控制的主要執行機構。飛輪運行狀態下出現的高頻振動容易引起星體抖動，嚴重影響衛星的指向精度。由于現有的控制方法還無法有效地解決這一問題，因此飛輪的高頻振動問題成為制約中國高精度、高穩定度遙感衛星發展的主要因素之一。

目前，國內外公開發表的研究飛輪高頻振動問題的文獻主要集中在兩方面，即考慮反作用輪過零時低速摩擦特性的姿態控制方法研究［1-2］和飛輪振動模型的建模技術研究［3-5］，尚未見有關討論飛輪振動頻譜特征的文獻。

本文通過定義廣義干擾來綜合表征轉子不平衡對飛輪的影響，基于線性和弱非線性振動分析理論對飛輪振動頻譜中存在的頻率成分進行了分析，并結合某型號飛輪所采用的滾動軸承振動特性進行了分析，最后通過試驗測量飛輪振動試驗頻譜數據，驗證了理論分析得出的結論。

2 理論分析

飛輪一般分為本體和驅動電路兩部分。飛輪本體主要包括轉子、滾動軸承、殼體和電機四部分，如圖1所示。

圖1 飛輪本體組成示意圖

轉子是飛輪的核心，提供飛輪的轉動慣量。但是，轉子不平衡也是引起飛輪振動的主要因素。本文主要針對轉子不平衡引起的飛輪受迫振動進行理論分析。為了便于分析，將飛輪本體視為整體，從而簡化得到一個多自由度振動系統，將轉子不平衡引起的不平衡力/力矩視為系統受到的激勵，進而將飛輪振動問題簡化為受迫振動問題進行研究。滾動軸承是飛輪本體中唯一的活動部件，本文將結合有關研究結論分析其振動特性。

2.1 廣義干擾定義

轉子不平衡是指實際轉子受到結構形狀、材料以及裝配工藝等多種因素的影響，慣性軸與旋轉軸線不相重合，產生了離心慣性力或慣性力偶。轉子不平衡的最簡單形式分為靜不平衡和偶不平衡兩種情況［6］。靜不平衡轉子的離心慣性力系向質心簡化為一合力F，合力F的方向圍繞旋轉軸變化，其頻率與飛輪旋轉頻率相同。偶不平衡轉子的離心慣性力系向質心簡化為力偶M，力偶M的作用方向圍繞旋轉軸周期性改變，頻率與飛輪旋轉頻率相同，相位比不平衡力F落后θ。如圖2所示，Ω表示飛輪旋轉角頻率，Fx（t）和 Fy（t）表示靜不平衡力F（t）在 x軸和 y軸上的分量，Mx（t）和 My（t）表示偶不平衡力矩M（t）在x軸和y軸上的分量。

圖2 廣義干擾定義示意圖

根據靜不平衡和偶不平衡的定義可知，不平衡量的存在使得一種表現形式為力和力矩的廣義干擾G（t）作用于飛輪。廣義干擾G（t）可以通過其在x軸和 y軸上的分量 Gx（t）和 Gy（t）表示，Cxx和 Cyy分別表示廣義干擾在x軸和y軸上分量的幅值。利用廣義干擾的分量 Gx（t）和 Gy（t）可以統一描述靜不平衡力 F（t）和偶不平衡力矩 M（t）在 x軸和 y軸上對飛輪的作用。

2.2 基于線性振動理論的飛輪受迫振動分析

由于飛輪具有顯著的軸對稱特點，其徑向振動具有明顯的對稱性，因此本文將主要選取飛輪某一徑向的振動問題進行分析。

為了便于進行分析，本文假設飛輪本體為一個線性振動系統，并且簡化為一個質量為 m、剛度為k、阻尼為c的單自由度有阻尼的受迫振動系統，在廣義干擾分量Gx（t）的激勵作用下，飛輪的受迫振動微分方程為

方程（1）的通解由相應齊次線性方程的通解加上非齊次線性方程的任一特解組成，經過求解并合并同頻率項，在廣義干擾的作用下，飛輪結構的徑向振動響應表現為兩種不同頻率的周期性振動的組合，其中一種是頻率等于有阻尼自由振動頻率ωd的系統有阻尼自由振動部分 x1（t），另一種則是頻率等于廣義干擾頻率（即飛輪旋轉頻率）的純強迫振動部分 x2（t）。

由于阻尼的存在，頻率等于ωd的系統有阻尼自由振動x1（t）最終將會衰減。隨著時間的推移飛輪在廣義干擾的激勵作用下，在x方向的振動響應只剩下穩態強迫振動，即

式中，

最終得出的線性振動方程的解（2）表明：飛輪在廣義干擾作用下的振動響應最終表現為頻率等于飛輪旋轉頻率的簡諧振動，即在飛輪為線性振動系統的假設條件下，僅考慮轉子不平衡的激勵作用時飛輪徑向振動頻譜中僅存在頻率等于飛輪旋轉頻率的單一成分。

2.3 基于正規攝動法的飛輪弱非線性受迫振動分析

實際飛輪并非是完全線性振動系統，將飛輪振動線性化所得出的結果與實際情況存在著一定的誤差，因此，為了使分析結論更接近真實的振動狀況有必要針對飛輪的非線性振動特性展開分析。考慮到飛輪內部組成結構復雜，可能存在多個激勵源，因此本節將主要就非線性振動系統受單個頻率的激勵和受多個不同頻率的激勵這兩種情況進行分析。

本文采用正規攝動法對弱非線性飛輪振動系統進行近似求解，正規攝動法的具體解算步驟見參考文獻［7］。

（1）單一頻率激勵下的受迫振動分析

為了便于分析、簡化對象，廣義干擾激勵下的飛輪非線性模型在式（1）所示線性化振動微分方程的基礎上增加弱非線性項εf（x，），ε為弱非線性系統的小參數，非線性函數f（xx）是x和的多項式。考慮帶小參數的飛輪單自由度非線性系統的振動微分方程為上式中阻尼項并入到了非線性項εf（x，）中。

為了初步分析飛輪的非線性振動特性，決定將本文中廣義干擾激勵下的飛輪非線性受迫振動采用帶有形如 εx3的3次非線性恢復力的達芬方程［8］來描述（即εf（x，x·）=-εx3）。根據正規攝動法，方程（3）的近似解析解為

式中，A、B1、B2、C1、C2、C3分別表示原系統各次近似方程特解中組成項的幅值，省略號包含更高階的近似解。

根據最終得出的飛輪受單一頻率激勵下的徑向受迫振動響應近似解析解，即式（4）可知，與線性系統的受迫振動相比，在廣義干擾激勵作用下飛輪的徑向非線性振動響應，即振動中不僅包含頻率為Ω的飛輪旋轉頻率成分，而且還包含3Ω、5Ω…等旋轉頻率的奇次倍頻響應成分。

（2）多個頻率激勵下的受迫振動分析

考慮到飛輪屬于多結構組成的系統，內部可能存在有多個激勵源，本節主要針對受兩個不同頻率簡諧激勵的情況進行非線性振動響應分析。設系統受到兩個激勵頻率分別為 Ω1和 Ω2的簡諧激勵作用，幅值分別為Cxx1和 Cxx2，激勵頻率都遠離派生系統的固有頻率 ω0，根據式（3），此時系統的非線性微分方程為利用正規攝動法，上述系統的一次近似方程為

其中A1、A2分別是上述系統的零次近似方程解中頻率為Ω1和Ω2組成項的振幅。

根據原系統的一次近似方程（6），該線性受迫振動方程右端激勵項中除了包含激勵頻率為Ω1、Ω2和各自奇次倍頻項以外，還存在2Ω1+Ω2，2Ω2+Ω1，|2Ω1-Ω2|和|2Ω2-Ω1|等組合頻率項。根據線性振動求解理論，一次近似方程（6）所示系統的振動響應中存在著上述各項頻率成分。因此可以得出與飛輪線性化所得出的分析結果不同的結論，即飛輪振動中不僅存在飛輪旋轉頻率成分，還包含各激勵成分的倍頻以及組合頻率。飛輪屬于典型的旋轉機構，其內部激勵源的激勵頻率與旋轉頻率保持一定的關系，因此飛輪徑向振動中所包含的不同激勵的倍頻成分及組合頻率成分相應地表現為旋轉頻率的分數諧波或高次諧波。

由于本節是利用達芬方程近似描述飛輪非線性振動系統，因此理論分析的結果與實際的振動頻率成分會出現一定程度的誤差。采用3次非線性恢復力形式的達芬方程使得飛輪徑向振動頻率成分的分析結論中倍頻項僅為奇次倍頻成分，而實際的飛輪徑向振動頻譜中可能不僅僅如此。

2.4 滾動軸承振動分析

滾動軸承主要由滾動體、保持架、內圈和外圈四部分組成，是飛輪中唯一的活動部件，也是潛在的主要振動源之一。本文主要針對某型號飛輪中采用的滾動軸承B7004進行運動特性分析，研究飛輪振動頻譜中可能存在的頻率成分。

滾動軸承 B7004的節圓直徑 Dm為31 mm，滾動體直徑d為6 mm，接觸角α為15°。滾動軸承內圈與主軸固定，轉速ni為0，外圈與飛輪轉子固接，轉速ne等于飛輪轉速n。

根據滾動軸承的運動學分析結論［9］，保持架相對于內圈的旋轉速度nci為

通常把滾動體通過外圈滾道上某一存在裂紋或剝落等缺陷的位置時產生的振動特征頻率，稱為外圈通過頻率。與之相對應的外圈上某一點每分鐘滾動體的通過速度為

式中z=12，z為滾動軸承B7004的滾動體個數。

經過前面的理論分析后得出的結果表明：滾動軸承中保持架可能引起的振動頻率大約為旋轉頻率的0.6倍，滾動體通過外圈缺陷位置可能引起的振動頻率大約為旋轉頻率的4.8倍。

很多小微企業缺乏對優惠政策的了解，這是由于稅務部門宣傳力度不夠，沒有主動幫助企業應用優惠政策。在稅收優惠政策出臺之后，稅務承辦人員未進行及時的學習，也就造成了企業未能完全落實政策。另外在企業和稅務部門之間存在信息不對稱的問題，稅務部門不了解企業的情況，企業也不了解政策和程序的情況，這樣的信息不對稱極容易出現數據的誤差。例如：金稅三期工程已經合并了稅務征收系統，但是由于稅種的差異未得到及時的交流，可能會出現登記稅務的錯誤。如小微企業在國稅部門和地稅部門登記的注冊信息有不同，若未經過核對，也就出現了數據錯誤。

綜上所述，通過對飛輪徑向振動頻率成分的初步理論分析可得出如下結論（見表1）：飛輪線性化振動理論分析表明飛輪徑向振動頻率等于飛輪旋轉頻率；理論分析結果還表明在考慮飛輪振動的非線性特性的情況下，飛輪徑向振動中還存在旋轉頻率的奇次倍頻成分和分數諧波成分或高次諧波成分；滾動軸承的運動特性分析結果表明保持架及滾動體可能會分別引起大約為0.6倍的旋轉頻率及大約為4.8倍旋轉頻率的飛輪徑向振動成分。

表1 飛輪徑向振動頻率成分表

3 試驗驗證

為了驗證飛輪徑向振動頻率成分的理論分析結果，作者利用朗斯公司生產的集成IC壓電式三軸加速度傳感器LC0161A、安捷倫公司生產的動態信號分析儀35670A和某型號飛輪A、B及相應的驅動設備組建了飛輪振動測量系統。

圖3所示為某型號飛輪A在旋轉頻率分別為30 Hz、40 Hz和50 Hz穩定狀態時的徑向振動加速度頻譜，橫坐標為頻率，縱坐標表示振動加速度幅值。盡管飛輪的旋轉頻率發生了變化，但是徑向振動頻譜中旋轉頻率f仍為主要成分，這一實際情況證明理論分析中得出的飛輪徑向振動頻譜中包含旋轉頻率f成分這一結論。頻譜中旋轉頻率高次倍頻成分的出現從一定程度表明飛輪振動具有非線性特性。

圖4所示為某型號飛輪B在較高轉速（60 Hz）穩定狀態下的徑向振動加速度頻譜，橫坐標為頻率，縱坐標表示振動幅值。此時，飛輪徑向振動頻譜中除了包含旋轉頻率f成分及其非線性特征的奇次倍頻成分3 f、5.02 f和未知來源的3.8 f頻率成分外，頻譜中還出現了滾動軸承保持架運動特征成分0.6 f，外圈上滾動體通過頻率成分4.8 f以及旋轉頻率f的偶次倍頻成分2 f、4 f等。由此表明理論分析中提到的振動頻譜中可能存在與滾動軸承相關的運動特征頻率成分的結論是正確的，即在高速情況下振動頻譜中會出現保持架的運動特征頻率成分0.6 f及滾動體的通過頻率成分4.8 f。

文獻［10］中指出飛輪徑向振動頻譜中存在著保持架的運動特征頻率成分0.6f，但是所給出的數據顯示在飛輪低轉速（10 Hz）情況下的振動頻譜中便存在著保持架的運動特征頻率成分0.6 f，這與本文所研究得出的高速狀態下才會表現出保持架的運動特征頻率成分0.6 f有一定的出入。

圖3中3種轉速下的頻譜中均存在有明顯的3.8 f頻率和5.8 f頻率的振動成分，是否與非線性組合頻率項有關還有待進行深入的理論分析和研究。雖然通過弱非線性達芬系統分析得出了飛輪振動頻譜中存在著轉速頻率的奇次倍頻成分，但是飛輪高速狀態下所出現的偶次倍頻成分2 f、4f表明在對飛輪的非線性振動分析中采用帶3次非線性函數的達芬方程來描述系統存在著誤差，需要作進一步地改進。此外，實際上圖3和圖4中飛輪徑向振動頻譜還存在高次倍頻成分幅值較大的現象，導致出現這一現象的具體原因有待進一步研究。

圖3 某型號飛輪A在不同轉速下的徑向振動加速度頻譜

4 結 論

本文通過簡化飛輪結構，利用經典線性振動理論、弱非線性近似解析方法以及基本運動學原理進行分析，得出飛輪振動頻譜中存在飛輪旋轉頻率成分及其高次倍頻成分的結論，通過建立振動測量系統，得到實際測量數據，表明該理論分析結論是合理、準確的。

圖4 某型號飛輪B在旋轉頻率為60Hz時的徑向振動加速度頻譜

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Analysis and Validation of Flywheel Vibration Spectrum Characteristics

WANG Quanwu1，HU Gang2
（1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China；2.China Academy of Space Technology，Beijing 100094，China）

Flywheel is an important disturbance source that affects the accuracy of spacecraft attitude control.Flywheel vibration spectrum characteristics are discussed in this paper based on the linear vibration system theory and the fundamental perturbation method for weak nonlinear systems.Ball bearing frequency characteristics of faults are also considered.It is indicated that flywheel vibration spectrum consists of a series of spectrum components with frequency proportional to the speed of flywheel.Experiments are conducted to illustrate the results.

flywheel；vibration；spectrum componen

TH133

A

1674-1579（2008）04-0042-05

2008-03-30

王全武（1982-），男，黑龍江人，碩士，研究方向為航天器執行機構振動測量與分析技術（e-mail：quanwuwang@gmail.com）。