菱形性質的運用

盧定波

菱形是特殊的平行四邊形,具有平行四邊形的所有性質.另外,菱形還具有特別的性質:菱形的四條邊都相等,對角線互相垂直,并且每條對角線平分一組對角.

例1(2008年·宜賓)如圖1,菱形ABCD中,E?F分別是BC?CD上的點,且BE = DF.求證:AE = AF.

證明:由“菱形的四條邊都相等”可知AB = AD.由“菱形對角相等”可得∠B = ∠D.再由已知BE = DF,運用SAS可判定△ABE≌△ADF.從而可證明AE = AF.

點評:解本題主要運用了菱形的四條邊都相等和對角相等的性質,并結合全等三角形來證明線段相等.也可連接AC,由SAS證△AEC≌△AFC.

例2(2008年·廣州)如圖2,在菱形ABCD中,∠DAB =60°.過點 C作CE⊥AC,且與AB的延長線交于點E.求證:AD = CE.

證明:由于AC為菱形的對角線,可知∠CAB = ∠DAC = 30°.因為CE⊥AC,所以∠E = 60°.由AD∥BC,可知∠CBE = ∠DAB = 60° = ∠E,所以BC = CE.再由AD = BC,從而可得AD = CE.

點評:本題還可連接BD,由BD⊥AC知BD∥CE.易知四邊形BDCE為平行四邊形.AD = BD = CE.

例3(2007年·嘉興)如圖3,在菱形ABCD中,不一定成立的是().

A. 四邊形ABCD是平行四邊形

B. AC⊥BD

C. △ABD是等邊三角形

D. ∠CAB = ∠CAD

解析:由菱形的定義,可知菱形也是平行四邊形,故選項A是正確的.由“菱形的對角線互相垂直”,可知選項B是正確的.由“菱形的對角線平分一組對角”,可知選項D也是正確的.由“菱形的四條邊都相等”可知, △ABD是等腰三角形,但對角線BD與菱形的四條邊不一定相等,因此△ABD不一定是等邊三角形.只有當BD與菱形的邊相等時, △ABD才是等邊三角形.因此,選項C不一定成立.

點評:本題要求同學們能夠熟練地將“文字語言”(定義?性質等)結合具體的圖形轉化為“幾何語言”.

例4如圖4,菱形ABCD的周長為40,點 O是兩條對角線AC?BD的交點,且AC ∶ BD = 3 ∶ 4.求AC和BD的長.

解析:由“菱形的四條邊都相等”,可知AB =× 40 = 10.根據“菱形的對角線互相垂直平分”,可得∠AOB = 90°,OA = AC, OB=BD.因AC ∶ BD = 3 ∶ 4,所以有OA ∶ OB = 3 ∶ 4.不妨設OA= 3x,則OB = 4x.在Rt△OAB中,由勾股定理,可知OA2 + OB2 = AB2,即(3x)2 + (4x)2 = 102,解得x = 2.因此OA = 3x = 6, OB = 4x = 8,所以AC = 2OA = 12,BD = 2OB = 16.

點評:求菱形的邊長或對角線長的問題,都是利用菱形的性質,在由邊長和兩條對角線的一半組成的直角三角形中,運用直角三角形的性質(如30°角所對的邊長是斜邊長的一半)或勾股定理求解的.

例5(2008年·大連)如圖5,菱形ABCD和菱形QMNP中,∠NMQ= ∠ABC,點M是菱形ABCD的對角線AC?BD的交點, MN交AD于點F,MQ交AB于點E.試探究ME與 MF有何關系.請說明你的理由.

解析: ME =MF.理由如下.

過點M分別作MH⊥AB于點H,MR⊥AD于點R,如圖6.

由“菱形的對角線平分一組對角”,可知點M在∠BAD的平分線上.又因為MH⊥AB, MR⊥AD,可得MH = MR.又∠HME + ∠EMR = ∠HMR = ∠ABC(想想為什么),∠RMF+∠EMR = ∠NMQ = ∠ABC,所以∠HME = ∠RMF.根據ASA可判定△HME ≌△RMF,所以ME = MF.

點評:本題是一道結論探究題,運用了“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”等相關知識,是一道綜合性較強的好題.

菱形的性質較多,在解題中,要根據解題的需要,選用菱形的相關性質.另外,要注意菱形對角線與等腰三角形?直角三角形的緊密聯系.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。