深入學(xué)科教學(xué)　注重實(shí)際效果

　　有人用“高原現(xiàn)象”對(duì)課程整合的現(xiàn)狀做了形象的比喻，這個(gè)比喻耐人尋味，不由使人聯(lián)想到：高原缺氧，氣喘吁吁，行進(jìn)困難，后勁不足……回顧課程整合一路走來，曾經(jīng)是何等的轟轟烈烈：口號(hào)震天，大賽不斷，人們熱烈討論著整合層次的深度，渴望通過技術(shù)根本改變傳統(tǒng)的教學(xué)。幾年過去了，如今課程整合已經(jīng)風(fēng)光不再，熱度大減，整合的話題再也引不起人們的積極響應(yīng)了。廣大教師回歸到往日的平靜，任憑你怎樣宣傳鼓動(dòng)，他們關(guān)注的還是如何面對(duì)當(dāng)前繁重的教學(xué)任務(wù)，沒有心思聽你談?wù)撏ㄟ^技術(shù)改進(jìn)教學(xué)的話題了。另外，對(duì)于前一階段技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用效果還飽受質(zhì)疑，可見用“高原現(xiàn)象”比喻當(dāng)前的整合還真有些切合實(shí)際呢！
　　如何破解這種整合的“高原現(xiàn)象”呢，作者以為要一改以往那種從一般的高深“理論”出發(fā)做文章，從檢索國外文獻(xiàn)中找思路的方式，因?yàn)殛P(guān)于“整合”的理論遠(yuǎn)未成熟，國外也沒能提供有足夠說服力的經(jīng)驗(yàn)。我們必須走結(jié)合我國國情，深入學(xué)科教學(xué)，注重實(shí)際效果的探索新路。只有勇于創(chuàng)新，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)，扎實(shí)推進(jìn)，才能摸索出一條中國特色的教育信息化的途徑，喚起廣大教師的熱情，讓技術(shù)真正為我國的教育現(xiàn)代化注入活力。
　　深入學(xué)科教學(xué)就是要根據(jù)學(xué)科的特點(diǎn)研究技術(shù)的潛力和應(yīng)用，注重實(shí)際效果就是要研究和解決學(xué)科教學(xué)使用技術(shù)過程中出現(xiàn)的實(shí)際問題。以數(shù)學(xué)教學(xué)而言，需要關(guān)注哪些是專門為數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)開發(fā)的技術(shù)?把它們用在教學(xué)中有什么實(shí)際問題需要解決：例如如何處理形象和抽象、實(shí)驗(yàn)和推理、動(dòng)手和動(dòng)腦的關(guān)系?作者認(rèn)為只有緊密結(jié)合這些教師最關(guān)心的實(shí)際問題，才能不斷增加與廣大教師的共識(shí)，逐步吸引更多的教師參與課程整合的實(shí)踐。
　　本文擬就有關(guān)數(shù)學(xué)課程整合的一些問題與大家探討。
　　
　　● 數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)技術(shù)最迫切的需求是什么
　　
　　一談技術(shù)，現(xiàn)在一般指的是多媒體和網(wǎng)絡(luò)，被專家推薦給教師在課堂上使用最多的則是PPT。其實(shí)這些技術(shù)本身不是專為數(shù)學(xué)開發(fā)的，當(dāng)然很難體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，得不到數(shù)學(xué)教師的普遍認(rèn)可。深入學(xué)科教學(xué)首先需要研究數(shù)學(xué)對(duì)技術(shù)最迫切的需求。數(shù)學(xué)是怎么一門學(xué)科呢？恩格斯說：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)?！边@就是說數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象是數(shù)與形。盡管隨著近代數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象更廣泛了，但在初等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象是“數(shù)”與“形”這一點(diǎn)并沒有改變。所以數(shù)學(xué)教學(xué)最關(guān)注的顯然還是處理“數(shù)”與“形”的技術(shù)。
　　對(duì)于處理“數(shù)”的技術(shù)人們并不陌生，例如算盤、計(jì)算尺、計(jì)算器等就是用來計(jì)算數(shù)的，它們的優(yōu)勢(shì)是比手工計(jì)算要快，而這些技術(shù)在以往初等數(shù)學(xué)的教學(xué)中都遇到過。只是現(xiàn)在科學(xué)技術(shù)發(fā)展的速度太快了，國內(nèi)外出現(xiàn)了多種專為數(shù)學(xué)研發(fā)的工具平臺(tái)，具有更加強(qiáng)大的處理“數(shù)”與“形”的功能，對(duì)此，廣大教師卻并不熟悉。
　　技術(shù)的進(jìn)步對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有怎樣的影響呢？讓我們以“指數(shù)爆炸”為例進(jìn)行一些討論。過去，沒有技術(shù)的支持，我們只能把印度王子獎(jiǎng)勵(lì)軍棋發(fā)明家大米的故事講給學(xué)生聽，但棋盤上64個(gè)格子放的大米粒總數(shù)1+2+2²+…+2⁶³究竟有多大，教師只能把事先計(jì)算的結(jié)果講給他們聽。有了計(jì)算器情況變了，學(xué)生不是通過聽而是可以通過自己實(shí)地計(jì)算來感悟指數(shù)爆炸。然而在課堂上用計(jì)算器計(jì)算時(shí)間顯得不夠，計(jì)算速度還嫌慢，怎么辦？現(xiàn)在智能教育平臺(tái)就大顯神通了。學(xué)生可以更迅速地通過操作得到結(jié)果（圖1是利用智能平臺(tái)計(jì)算的結(jié)果，其中左面是程序工作區(qū)，圖2是計(jì)算結(jié)果）。實(shí)踐表明課堂使用的效果很好，學(xué)生們被這個(gè)結(jié)果所吸引，以至下課后學(xué)生還久久不愿離開，圍著計(jì)算機(jī)數(shù)這個(gè)結(jié)果的位數(shù)。
　　
　　這里的指數(shù)爆炸實(shí)際上說的是指數(shù)函數(shù)y=x在底大于1時(shí)增長得快的函數(shù)性質(zhì)，它比一次函數(shù)增長得快得多。例如y=2^x就比y=x增長得快?？梢杂谩皥D”形象地說明這一點(diǎn)，只要畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象就行了，許多教師在教學(xué)上就是這么做的，不過以往是在黑板上用粉筆畫圖，當(dāng)然比較費(fèi)時(shí)間。有了技術(shù)的支持，情況大不一樣了，我們可以隨手畫出下面的數(shù)形結(jié)合的“動(dòng)”圖。如圖3所示，用鼠標(biāo)選擇橫軸上的點(diǎn)x拖動(dòng)，可以看到對(duì)應(yīng)于兩個(gè)函數(shù)圖像上的點(diǎn)的變化以及相應(yīng)的函數(shù)值的變化。這個(gè)動(dòng)圖的優(yōu)越性不僅在于通過動(dòng)表現(xiàn)函數(shù)的變化，還在于可以通過“動(dòng)手”操作觀察函數(shù)值的變化。一個(gè)圖比語言更容易被人理解，而可以動(dòng)手操作的動(dòng)態(tài)圖像比原來的靜圖的效果更是強(qiáng)過千百倍。有誰會(huì)拒絕這樣的技術(shù)支持呢？
　　不過光靠直觀還不夠。譬如學(xué)生不滿足拿指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)作比較。他們可能問y=2^x比y=x²增長得快嗎？一般地，如何認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增長？例如y=1.05^x比y=x³增長得快嗎？這時(shí)如何理解指數(shù)爆炸？如果光憑圖像觀察很可能得出錯(cuò)誤的結(jié)論，因?yàn)閺膱D上看，y=1.05^x要比y=x³增長慢得多，而受計(jì)算機(jī)屏幕大小的限制又不便于展現(xiàn)當(dāng)自變量取很大數(shù)值時(shí)函數(shù)的圖像。（圖4）難道y=x的增長真的不如y=1.05^x嗎？這時(shí)技術(shù)又可以幫忙了，讓我們通過數(shù)字計(jì)算比較當(dāng)x充分大時(shí)兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值的大小?？匆韵掠?jì)算的結(jié)果，這里計(jì)算機(jī)屏幕上的變量尺的滑紐是可以用鼠標(biāo)選中拖動(dòng)的（這個(gè)變量尺中變量的變化范圍也可以人為很方便地設(shè)定），當(dāng)把滑紐x拖動(dòng)到364.42時(shí)我們看到y(tǒng)=1.05^x后來居上，以后并一直超過函數(shù)y=x³。（圖5）
　　由此看來，隨著技術(shù)的進(jìn)步關(guān)于指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)方法可以得到不斷改進(jìn)。同樣的內(nèi)容，教學(xué)效果卻可以大不相同！數(shù)學(xué)教學(xué)嘗到了技術(shù)支持的甜頭。不難設(shè)想，如果廣大教師了解了現(xiàn)在先進(jìn)的智能教育平臺(tái)有這么強(qiáng)大的處理數(shù)和形的能力，他們的教學(xué)將會(huì)變得怎樣。可以肯定，數(shù)學(xué)課堂會(huì)更加吸引學(xué)生，數(shù)學(xué)將變得容易理解，更加有趣，更有魅力。
　　
　　● 關(guān)于使用技術(shù)的過程中直觀和抽象的思考
　　
　　技術(shù)用在教學(xué)中遇到的一個(gè)實(shí)際問題是如何處理直觀和抽象。有的教師擔(dān)心：用了形象和直觀，學(xué)生看了可能只是知其然而不知其所以然，學(xué)生的思維活動(dòng)將被直觀取代，那么技術(shù)還不如不用的好。
　　這種擔(dān)心有一定的道理。因?yàn)閿?shù)學(xué)是具有高度抽象性的學(xué)科，如果數(shù)學(xué)教學(xué)止步于形象直觀或過早地呈現(xiàn)直觀材料都會(huì)削弱學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，但數(shù)學(xué)教學(xué)中卻決不應(yīng)該忽視直觀的作用。經(jīng)驗(yàn)表明，如果沒有充分的直觀支持，學(xué)生的數(shù)學(xué)概念多是死記硬背，抽象思維的質(zhì)量是大打折扣的。他們頭腦中所謂的抽象數(shù)學(xué)概念實(shí)際上是他們自己并不理解的生澀空洞的文字和數(shù)學(xué)符號(hào)的組合，沒有任何生命力。教學(xué)中這樣的例子還少嗎，例如有多少高中學(xué)生真正理解函數(shù)的概念，真正理解極限的定義？這顯然不是由于使用直觀形象材料太多的緣故，也不是使用技術(shù)造成的。所以不應(yīng)該把直觀和抽象對(duì)立起來，也不能以數(shù)學(xué)具有高度的抽想性為由拒絕使用技術(shù)。
　　下面我們以函數(shù)單調(diào)性概念的教學(xué)為例進(jìn)行一番討論。最近全球金融危機(jī)引起了億萬人對(duì)股市的關(guān)注，每天多少眼球緊盯著股市的升降不放，但這其中沒有多少人能聯(lián)系到這后面的函數(shù)單調(diào)性的概念，更沒有多少人能用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表述函數(shù)的單調(diào)性。這說明抽象的數(shù)學(xué)概念和公眾之間存在不小的距離，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交瘮?shù)學(xué)表述方式與公眾之間存在一條難以逾越的語言鴻溝。所以縮短認(rèn)識(shí)上的距離，克服語言間的鴻溝就是數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注的問題了。我們的看法是有必要設(shè)計(jì)一個(gè)啟發(fā)學(xué)生積極參與的過程，由特殊到一般，由直觀到抽象，由感性到理性，由意會(huì)到言傳，由不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交硎?，再由抽象到具體。
　　
　　課本是這樣敘述函數(shù)單調(diào)性的定義的：“設(shè)D是函數(shù)f(x)的定義域，區(qū)間I是D的子集，如果對(duì)于I上任意兩個(gè)值x、x，當(dāng)x2時(shí)都有f(x)2)，那么就說f(x)是區(qū)間I上的遞增函數(shù)，如果對(duì)于I上任意兩個(gè)值x、x，當(dāng)x2時(shí)都有f(x)>f(x)，那么就說f(x)是區(qū)間I上的遞減函數(shù)?！?
　　學(xué)生對(duì)這段話感到難于理解，教學(xué)上怎么處理？使用技術(shù)能有助于克服困難嗎？其實(shí)以往的教學(xué)也需要借助直觀。以往的教材先是從正比例和二次函數(shù)y=x的性質(zhì)出發(fā)，進(jìn)而用“一般地說，函數(shù)的單調(diào)性可以這樣定義”由此引出上面那段文字。這里正比例和二次函數(shù)的圖像就是幫助學(xué)生理解單調(diào)性概念的具體的直觀材料。但這對(duì)于突出函數(shù)單調(diào)性的區(qū)間性質(zhì)，以及理解定義中的“如果對(duì)于I上任意兩個(gè)值x、x，當(dāng)x2時(shí)都有f(x)2)”起的作用顯然不夠?，F(xiàn)在利用智能平臺(tái)可以方便地呈現(xiàn)出下面函數(shù)的圖像（圖6），讓學(xué)生從圖像觀察函數(shù)的變化，這個(gè)函數(shù)圖象比起直線和二次函數(shù)圖像復(fù)雜，有兩個(gè)函數(shù)遞減區(qū)間和一個(gè)函數(shù)遞增區(qū)間，著就更能凸現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性是緊密和某一區(qū)間聯(lián)系在一起的。在這個(gè)圖像的基礎(chǔ)上還可以呈現(xiàn)一個(gè)通過鼠標(biāo)控制的動(dòng)圖，用鼠標(biāo)選擇橫軸上動(dòng)點(diǎn)x拖動(dòng)，觀察函數(shù)圖像上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化。這一動(dòng)函數(shù)值隨著自變量如何變化清晰可見。為了幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)單調(diào)性的定義，還可以呈現(xiàn)圖7。這里、都可以通過鼠標(biāo)拖動(dòng)，于是“對(duì)于I上任意兩個(gè)值x、x，當(dāng)x2時(shí)都有f(x)>f(x)”這段話中“任意的”通過拖動(dòng)鼠標(biāo)得到了很好的詮釋。我們還可以利用“隱藏/顯示”功能根據(jù)教學(xué)需要呈現(xiàn)動(dòng)圖或靜圖。譬如在引入概念時(shí)呈現(xiàn)靜圖以給學(xué)生更多的思考，隨著概念抽象的不斷深入再呈現(xiàn)動(dòng)圖。選擇“隱藏”還是“顯示”的時(shí)機(jī)則根據(jù)課堂學(xué)生思維活動(dòng)的需要和節(jié)奏而定。由此可見，技術(shù)確實(shí)可以在數(shù)學(xué)教學(xué)中派上用場(chǎng)，不僅沒有削弱學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，反而能促進(jìn)學(xué)生的深入思考。
　　
　　
　　● 計(jì)算機(jī)支持的實(shí)驗(yàn)和推理，動(dòng)手和動(dòng)腦。
　　
　　對(duì)于計(jì)算機(jī)支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在教師中間也存在著爭議。其實(shí)，當(dāng)前不少教師已經(jīng)自覺或不自覺地把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)引入到教學(xué)中去了。例如，在講解函數(shù)y=x²的圖像和性質(zhì)時(shí)，教師演示利用幾何畫板做的可控制系數(shù)的二次函數(shù)圖像課件，通過鼠標(biāo)控制系數(shù)的變化，讓學(xué)生觀察屏幕上函數(shù)y=x²圖像隨之發(fā)生的變化，進(jìn)而歸納出函數(shù)y=x²的圖像和性質(zhì)。對(duì)于其教學(xué)效果，教師們則是評(píng)價(jià)不一?？隙ǖ囊庖娛牵和ㄟ^實(shí)驗(yàn)可以生動(dòng)地在屏幕上看到系數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖像的影響，由一系列特例得出一般規(guī)律，抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象易于理解了；反對(duì)的意見是：數(shù)學(xué)畢竟不是實(shí)驗(yàn)科學(xué)，計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)把結(jié)果一下子呈現(xiàn)出來，無形中削弱了數(shù)學(xué)思考，憑什么a＞0時(shí)函數(shù)y=x²圖像在坐標(biāo)平面的上半部分？憑什么函數(shù)y=x²圖像都過原點(diǎn)且與y軸對(duì)稱？學(xué)生看到計(jì)算機(jī)的演示結(jié)果卻不思考其中的道理，從長遠(yuǎn)看是有益還是有害？
　　我們的意見是數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展并不都是來自邏輯推理。幾何學(xué)實(shí)際上起源于經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，某些數(shù)學(xué)的靈感也來源于實(shí)驗(yàn)、觀察和猜想。所以數(shù)學(xué)不排斥實(shí)驗(yàn)，特別是數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)階段，但數(shù)學(xué)不能止步于實(shí)驗(yàn)和猜想。而計(jì)算機(jī)則為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)了一個(gè)理想的實(shí)驗(yàn)室。計(jì)算機(jī)支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，為發(fā)展他們的創(chuàng)造性思維提供了技術(shù)的平臺(tái)。讓我們看兩個(gè)例子。
　　一個(gè)來自幾何的例子?！鰽BC中，AD⊥BC， BE⊥AC， CF⊥AB，則AD、BE、CF三線交于一點(diǎn)，且∠ADE=∠ADF（圖8）。如果把這個(gè)題目直接給學(xué)生，它的教學(xué)價(jià)值僅僅是訓(xùn)練學(xué)生的推理證明能力，而淹沒了這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)探究過程?，F(xiàn)在修改一下教學(xué)思路，設(shè)計(jì)成如下的活動(dòng)：讓學(xué)生按照本題的已知條件畫圖，問他們發(fā)現(xiàn)了什么。這時(shí)學(xué)生的任務(wù)就比剛才復(fù)雜了，多數(shù)學(xué)生可能發(fā)現(xiàn)了三線交于一點(diǎn)，而一眼看出∠ADE=∠ADF的學(xué)生就比較少。這就鍛煉了學(xué)生的洞察和猜想能力，當(dāng)然接下去要驗(yàn)證或證明猜想。從數(shù)學(xué)教育的價(jià)值看，后者更有意義。技術(shù)在其中又能起什么作用呢？我們以為在計(jì)算機(jī)上畫圖，一是快速準(zhǔn)確，二是通過動(dòng)態(tài)圖形發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)圖形中的不變關(guān)系，三是能夠及時(shí)測(cè)量動(dòng)態(tài)圖形中我們關(guān)心的數(shù)據(jù)。因此計(jì)算機(jī)支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就更有成效。把題目改一下，△ABC中，AD⊥BC，E為 AC上任意一點(diǎn)，連BE交AD于L，作直線CL交AB于F，這時(shí)∠ADE=∠ADF還成立嗎（圖9）？
　　
　　 我們可以用鼠標(biāo)選中點(diǎn)E拖動(dòng)觀察∠ADE和∠ADF的大小，還可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)的測(cè)量，然后才是對(duì)觀察到的事實(shí)進(jìn)行證明，不是僅看到現(xiàn)象而已。上述實(shí)驗(yàn)并不排斥推理，也不排斥動(dòng)筆在紙上畫圖和證明，但更側(cè)重讓學(xué)生經(jīng)歷包含發(fā)現(xiàn)探究在內(nèi)的全過程。顯然這樣完整的實(shí)驗(yàn)需要?jiǎng)邮?，還要?jiǎng)幽X，不僅需要合情推理，還需要演繹推理。
　　一個(gè)來自代數(shù)的例子。一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)的圖像如果相交，其交點(diǎn)的位置如何，一定在一、三象限的角平分線上嗎？如果在，請(qǐng)給出證明，否則，請(qǐng)給出反例。
　　大多數(shù)學(xué)生（包括不少教師）都認(rèn)為其交點(diǎn)一定在一、三象限的角平分線上，理由是一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)的圖像關(guān)于一、三象限的角平分線對(duì)稱。其實(shí)這個(gè)認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的，讓我們?cè)谟?jì)算機(jī)上作下面的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（圖10）：
　　1．作函數(shù)的圖像。
　　2．作一、三象限的角平分線。
　　3．作函數(shù)的圖像關(guān)于一、三象限的角平分線的對(duì)稱圖形。
　　4．作可通過鼠標(biāo)控制y=x+b變化的變量尺。
　　5．用鼠標(biāo)選擇控制y=x+b變化的滑紐觀察屏幕上函數(shù)圖像的變化。于是得到了下面的反例：y=x^-7/4+0.39，這個(gè)函數(shù)與其反函數(shù)的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，其中有兩個(gè)不在一、三象限的角平分線上。
　　
　　這個(gè)實(shí)驗(yàn)充分體現(xiàn)出技術(shù)的優(yōu)越性，如果沒有智能平臺(tái)的支持而僅僅借助與紙和筆很難這么迅速地得到反例。另外，這個(gè)實(shí)驗(yàn)來自一個(gè)開放性問題，通過這樣的問題可以培養(yǎng)學(xué)生大膽質(zhì)疑的科學(xué)精神和批判性思維，而這樣的問題的教育價(jià)值比大量模仿固定題型的訓(xùn)練要有意義。我們是否可以考慮用計(jì)算機(jī)支持的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)豐富學(xué)生的課外活動(dòng)呢？
　　
　　● 一個(gè)嶄新的課題——在新技術(shù)環(huán)境中對(duì)數(shù)學(xué)教育的再思考
　　
　　當(dāng)人們?yōu)檎n程整合的所謂“高原現(xiàn)象”困惑不解時(shí)，但一些專家聲稱當(dāng)前的教育信息化正面臨生產(chǎn)力悖論而處于效用波動(dòng)期的時(shí)候，本文給出的上述案例或許能引發(fā)人們進(jìn)行一些積極的思考。那就是關(guān)于整合的研究不能再浮在表面，而必須深入學(xué)科教學(xué)，關(guān)于整合的效果不必總指望于未來，而是需要研究當(dāng)前使用技術(shù)的可行性和有效性。