一次訂購多次銷售的報童模型擴展分析

［摘 要］ 本文基于經典報童模型的分析方式，結合現實情況中廣泛存在的季節性多次降價銷售的情況，對報童模型做出了擴展。通過二次降價乃至多次降價銷售的逐步分析，說明降價銷售策略有利于提高零售商最優訂貨點，從而使供應鏈環節的整體效益得到提升。而更進一步的分析結果表明，通常情況下（不考慮缺貨損失），隨著降價銷售階段數的增加，零售商最優訂貨點呈現逐步提高的趨勢。

［關鍵詞］ 報童模型；多次銷售；最優訂貨點；缺貨損失；回購

［中圖分類號］F224.0［文獻標識碼］A［文章編號］1673-0194（2008）07-0097-04

一、引 言

報童模型是在供應鏈中分工情況下，分析零售商為獲取最大利潤所采用的訂貨策略的一種有效模型。在經典的報童模型中，如果報紙在超過需求量無法銷售的情況下，供貨商將以低于成本價的價格對報紙進行回購，以適當補償報童的風險損失，從而提高報童在訂貨時的訂貨點，盡可能滿足市場需求，同時有利于提高供貨商的利潤。

在經典的報童模型中，零售商的供貨點最優訂貨量q*滿足：

（1） 銷售價格p降低時，零售商最優訂貨點下降；

（2） 訂購成本w降低時，零售商最優訂貨點上升；

（3） 供應商回購價格升高時，零售商最優訂貨點上升。

以上3條結論均考慮在其他因素固定情況下，某單個因素對最優訂貨點的影響。

當零售商商品存貨不夠時，可能會導致缺貨損失，例如因顧客流失導致的損失等。在考慮缺貨損失情況下，報童模型零售商的供貨點最優訂貨量q*滿足：

其中s表示缺貨損失。

實際生活中，更多的商業行為存在多期銷售的情況。所謂多期銷售是指當商品訂貨量超過市場需求時，零售商會在當期銷售活動結束后，采取降價的方式促銷剩余商品，而不是立即以補償價格返還給供貨商。實際的降價行為可能存在多期，直至所有銷售周期結束后，才把滯銷的商品以回收價格返還給供貨商。本文將就這種銷售方式，基于經典報童模型的分析方法對其進行分析和討論。

二、 問題假設

為了問題考察和模型分析的方便，在不失實際性的基礎上，對本文所考慮的問題模型做以下假設：

（1）為簡化問題模型，僅考慮零售方一次訂購情況。如果訂貨量無法滿足市場需求，零售方需要追加訂貨，可以假定該情況下不存在多次降價銷售問題。而對于零售商一方面多次降價銷售，另一方面又不斷補充新的貨源，且其銷售價格也可能存在著多個標準情況，其模型較為復雜，本文暫不涉及。

（2）商品的銷售分為多次進行。零售方訂貨量根據市場的需求量預測。在第一次銷售中，如果缺貨，則認為不存在多次銷售情況，其處理方式轉變為經典報童模型。若第一次銷售后存在剩余，則剩下商品進行第二次降價銷售。后續多次銷售情況以此類推，直至銷售周期截止（第n次銷售結束），最后沒有銷售掉的商品以殘價返還給供貨方。

（3）在每次銷售過程中，需求變量x是連續的隨機變量，并服從分布函數F（x），其概率密度函數為f（x）。為了處理方便，假定各次銷售中的需求分布相互獨立。

對于季節性商品，大多數商品銷售行為可以用基于上述假設的模型進行分析。部分商品由于其品質會隨時間變化，零售商一方面把現有未銷售完畢產品進行降價處理，另一方面從供應商處訂購新鮮產品以初期價格進行銷售，此種銷售行為同上述模型假設有較大差別，本文暫不涉及其模型分析。

三、變量設定

m ——利潤；

rn ——第n期銷售價格；

c ——訂購成本；

v ——回收價格；

y ——零售方訂貨量；

xn ——第n期需求；

sn ——第n期銷售的缺貨損失；

Fn（xn） ——第n期需求的分布函數；

fn（xn） ——第n期需求的分布密度函數；

f（x1，x2，…，xn）為x1，x2，…，xn的聯合分布密度函數；

F1，2，…， n（y）為x1+x2+…+xn的分布函數。

為了討論方便，本文將先討論一次訂購二次降價銷售情況，然后以此為基礎擴展到多次銷售情況。

四、二次降價銷售模型

二次降價銷售是指零售方在第一次銷售周期后存在商品剩余情況下，采取適當降價措施進行第二次銷售，第二次銷售周期結束后如果仍有商品剩余，則以一定的殘價返還給供貨方。

零售方在銷售過程中如果存在缺貨，則不可避免會產生一定的缺貨損失（例如利潤損失，顧客流失，市場占有率下降，信譽度損害等）。缺貨損失因素的增加，使得模型與現實情況更為符合，但也會在一定程度上增加分析的復雜度。以下分析將首先在不考慮缺貨損失前提下進行，然后在此基礎上引入缺貨損失進行擴展。

1. 不考慮缺貨損失

在當前以買方市場為主的環境下，在簡單的供需雙邊供應鏈模型中，訂貨量主要取決于銷售方根據市場需求所做出的訂貨決策，其目的則是為了追求銷售利潤的最大化。參照經典報童模型的計算方法和結論，可以得出零售商利潤函數如下：

m=（r1-c）min（y，x1）+（r2-c）［min（y-x1，x2）］++（v-c）［y-x1-x2］+

其中［x］+=x， x>00， x≤0

考慮到兩次銷售階段需求x1，x2均為隨機變量，計算利潤函數的平均值為:

上述模型是以零售商利潤期望值作為目標函數，通過求其極值獲取零售商利潤最大化。最終分析結果歸結于零售商最優訂貨點的函數分布，并以此推斷出二次降價銷售行為可以提高零售商的訂貨點的結論。從供應鏈角度考慮，零售商訂貨點的提高，對于供應商優化其生產，提高庫存和運輸效率和效益，都有極大益處。由此可見，二次降價銷售行為可以同時兼顧零售商和供應商兩個環節，從而提高整個供應鏈的效益。

2. 考慮缺貨損失

在考慮缺貨損失情況下，二次降價銷售模型中零售商利潤函數表示為：

m=（r1-c）min（y，x1）+（r2-c）［min（y-x1，x2）］++（v-c）［y-x1-x2］+-s1［y-x1］--s2［y-x1-x2］-

其中［x］-= x， x<00，x≥0

利潤函數平均值為：

F1（y*)< 可得在二次降價銷售情況下，第二個銷售階段缺貨損失的認定將對于訂貨點產生較大影響，當缺貨損失小于第二階段零售價和殘值之差時，二次降價銷售有助于提升零售商訂貨點，提高整個供應鏈的效益。事實上考慮到第二階段銷售為降價銷售，其缺貨損失通常情況下應該比前一階段有較大程度的下降，因此可以認為上面的條件容易得到滿足，即二次降價銷售有利于零售商供貨量的增加。

五、多次降價銷售模型

部分季節性銷售商品，可能存在其季節性因素導致降價銷售行為超出兩階段的情況。相對于兩次降價銷售而言，多次降價銷售無論在影響因素，還是在分析的復雜度上面都有極大幅度的增加。為了分析的方便，此處將忽略缺貨損失因素的影響。從理論角度分析，降價銷售的階段增加，意味著供貨量和零售商商品的充裕，相應的產生缺貨損失的可能性以及缺貨損失的量也將大大降低，從而使得其因素對于整個模型的影響程度減弱。

參照上述分析步驟，給出多次降價銷售情況下利潤函數表達式為：

m=（r1-c）min（y，x1）+（r2-c）［min（y-x1，x2）］++（r3-c）［min（y-x1，x2，x3）］++…+（rn-c）［min（y-x1-x2-…-xn-1，xn）］++（v-c）［y-x1-x2-x3-…-xn］+

其均值為：

六、結 論

多次降價銷售模型可以適合很多季節性銷售商品的分析要求。經典報童模型可以通過供應商殘值回收的方式提高零售商的最優訂貨點，而從上述分析結果則可以看出，降價銷售的銷售方式，可以在一定意義上降低零售商的銷售風險，從而提高零售商的最優訂貨點。比較兩種方式，更可以發現，后一種方式僅從零售商銷售方式的變化，在不影響供貨商情況下，提升了供應鏈環節的效益。當然，多次降價銷售的方式延長了零售商的銷售周期，在一定程度上會影響零售商資金周轉速度，而另一方面，現實情況下，降價銷售的銷售手段，不可避免地導致銷售周期中多次訂貨情況的發生，甚至可能同種商品多種零售價格并存的情況。相關問題的分析較為復雜，筆者將在以后的研究中作進一步的探討。

主要參考文獻

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”