數學思想方法對教學改革的指導

所謂數學思想，就是對數學知識的本質的認識，是對數學規律從理性角度上的認識。所謂數學方法，就是解決數學問題的根本策略和程序，是數學思想的具體反映。簡單地說數學思想是數學的靈魂，數學方法是數學行為。運用數學方法解決問題的過程就是感性認識的不斷積累的過程，當這種積累達到一定程度時就產生飛躍，從而上升為數學思想，有時這種積累要經過一個漫長的歷史階段。一個科目的發展是由匯集不同方面的成果，點滴積累而成的，常常需要幾十年甚至幾百年的努力，才能邁出有意義的幾步。

認識事物的本質是人們學習的根本目的，因此忽略對數學思想的教學顯然是錯誤的。作為數學教師，必須深刻地理解這種思想性，弄清楚數學思想與數學方法和數學教學的關系。在教學中，要體現這種思想性，不能把數學教學中的一些方法同它的思想分割開來去認識，而應懂得“現在的根，深扎在過去，而對于尋求理解現在之所以成為現在這個樣子的人們來說，過去的每一件事都不是無關的。”當教師認識、理解、融會了數學思想，在教學中就能把握這種思想，使之滲透于教學中，使之從理論的高度上去指導數學方法和教學。有時學生在學習過程中，雖不能明確認識到這種思想性，卻在潛意識中已接受和運用了這些思想，久而久之，我們就能實現教學目的，使學生在一個階段時間內，就能把人類幾千年探索的成果掌握和應用。學生就比較容易完成這樣一個從具體到抽象的過渡。而數學史上完成這一思想的過渡都經歷了漫長的歲月，這也正是數學思想教學的意義所在。教學中我們首先要理解教材的思想性、系統性和目的性，用數學思想的武器去指導教學，那么教師的這種宏觀意識必將在數學教學中產生良好的效果。因此，在整個數學學科的教學中，數學思想和數學方法起著至關重要的作用。

首先，這是一個純理論范疇的問題，對此學生可以不十分清楚。而作為數學教師應有一定的理論認識高度。通過這一問題的探討，使我們對數學這一門學科在思想的深度上有新的認識。我們的思維及觀念就不能僅停留在學會課本知識和教會學生，而應在思想理論的指導下，研究和改革教學，才能推陳出新，使我們教得更好。雖然我們在教學中可能都不成功，但要想成為一個成功的人，沒有思想理論的指導是不可能的。

其次，數學教學的主要任務不僅使學生掌握好基礎知識和基礎技能，而且要發展智力，培養能力，還要培養非智力因素。從根本上講就是全面提高素質，這種素質最重要的因素是思維素質，而數學思想方法就是增強數學觀念，形成良好思維素質的關鍵，有人做過這樣的比喻：將學生的數學素質看作一個坐標系，那么數學知識、技能就好比橫軸上的因素，而數學思想、方法就是縱軸上的內容。忽視了數學思想、方法，就失去了認識網絡的縱橫交錯，也就不可能完善認識結構，即認識是不完整的，更談不上全面提高素質了。因此加強數學思想、方法研究，就等于找到了數學進行素質教育的突破口。

第三，從教材體系看，近幾十年中小學數學教材的改革調整，越來越明顯地貫穿了兩條線，一條是數學知識線，它是直觀的、表象的，也是看得見的明線，另一條是數學思想線，它是潛在的或內在的，也是看不見的暗線。落后的教法只看到教材中的數學知識，忽視數學思想方法，造成教學事倍功半。有了數學思想，數學知識就不再成為零散的東西，教學方法不再是死板教條，從而能從整體上把握教學。因此，加強數學思想方法的研究，是數學教學改革的新視角。

第四，從發展趨勢看，數學教學必須著眼于現代化，以適應國際數學教育發展以及我國社會發展的需要，數學的意義、作用已遠超出數學學科本身，它被認為是開啟宇宙大門的鑰匙。數學的現代化，并不是把數學內容改變為“現代數學的教學”，而是從思想、方法、語言上，使數學教學建立在現代數學的思想觀念基礎上。

第五，學習的目的在于應用，單就數學來說，就意味著解題，解題的關鍵在于找到合適的解題思路。數學思想、方法就是幫助構建解題思路的指導思想，它能夠使學生把知識融會貫通，使各知識點在思想的引導下聯系在一起，找到成功的道路。因此加強數學思想方法的研究，就是培養學生分析問題和解決問題能力的重要措施。

目前在教學中反映出的數學思想、方法大致有以下幾類，它們在教學中都有相應的重要地位和代表性。

１．符號思想。在數學中，各種量的關系、交換、推導以及演算，無不憑借符號形式進行（如代數體系中的數字、字母、運算符號等），從而極大地簡化和加速了思維進程。

２．集合思想。集合思想早在人類開始認識自然數的時候就被應用和采納，現在從小學、初中到高中，都有相應的學習。當你理解了集合的思想性，你再去看各階段的知識點：認數、數數、分類、運算、元素、定義域、值域、代數關系、幾何圖形等都可以部分的和整體的建立集合體的聯系，集合思想把各種概念的層次理的清清楚楚。

３．對應思想。對應是人的思維對兩個集合間問題聯系的把握，它幾乎是在集合思想產生的同時而產生的。對應思維的建立是人的認識能力的突出表現，它能使許多抽象的數學概念和復雜的數量關系直觀化。這種對應思想方法培養了學生從具體到抽象、從簡單到復雜的思維能力，同時也提高了抽象理論的直觀化理解，是解決數學問題的基本方法之一。

４．函數思想。函數思想實際是對應思想更進一步高度抽象概括的結果，它使數學能有效地揭示事物運動變化的規律，反映事物間的相互聯系。它不僅使數學由研究狀態到研究過程，而且引起了傳統的常量數學觀念的更新，加深了學生對數學關系的理解，我們緊緊把握住這一本質，就能逐步培養學生運用聯系、變化的觀點認識事物的思維習慣。

５．化歸思想。化歸是通過數學內部的聯系和矛盾運動，在推移轉變中實現問題的規范化過程，以使新問題歸結為應用已知的方法和技術達到問題的解決，這是解決數學問題的根本想法，也是基本策略，一切數學問題的解決過程總是將未知不斷地轉化成已知的舊問題的過程，常用的有化生為熟，化難為易，化繁為簡，化整為零，化曲為直，化不規則為規則等。

６．轉換思想。就是等價關系之間的問題形式轉化，它與化歸思想在形式上是相似的，但本質的不同在于轉化思想可逆轉，而化歸只能向一個方向轉化。如方程的同解轉換，定律、公式、命題的等價轉換，幾何形體中的等積轉換，坐標系的平移或旋轉等。“雙向聯想”是轉換思想的集中代表。如解算術應用題或代數證明題中的“分析法”就是連續使用轉換方法，直至使問題變為已知。由此可見轉換思想方法，是數學解題的一種重要策略。

７．模型思想。一切數學概念、公式、體系等均可成為數學模型。在初等數學中，模型的構建相對直觀一些，具體一些。一般都從現實原型出發，充分使用觀察、實驗、操作、比較、分析、綜合、概括等基本思維方式得到。簡單說就像小學生從２＋３＝３＋２，５＋１＝１＋５．．．．．．．．等一系列算式中，認識到對兩數ａ、ｂ，總有ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，這一形式便被認為是一種定律。事實上在高等數學中這種模式可以得到更一般和抽象的含義，

８．極限思想。極限作為“質變的關節點”是事物轉化的重要環節。在小學數學中有諸如圓的面積和周長等概念和計算的形式；在中學有如二次曲線離心率的討論，漸近線的意義，割線與切線的關系，數列變化的趨勢等等，至于高等數學中，圍繞微分、積分概念的引入，極限思想應用得更加廣泛。就是在這種“有限中認識無限，近似中認識精確，量變中認識質變”，才使數學的發展有了更廣闊的天地。

以上對數學思想的看法，也可能不夠準確，隨著數學的發展，需要我們繼續研究。至于數學方法，基本上是一種數學思想，相應的有一種數學方法。因為思想往往是從方法中概括的，所以它們二者應該有一致性。這些方法是一種宏觀思維形式的帶有思想性的方法。而真正具體的方法是多種多樣的，千變萬化的，是各種思想的綜合應用。應看到數學思想比方法更抽象、更本質。“思想”是相應方法的理論根據，“方法”是相應思想的技術實施。在教學中應注重對數學思想和方法的滲透，提高滲透的意識性，把握滲透的過程性，注意滲透的啟發性。數學思想方法是在啟發學生思維過程中逐步積累形成的，指導和啟發學生挖掘、提煉、揣摸、概括，使學生自己感受到了其中的思想性，那就具有更強的活力。同時啟發要注意循序漸進，一種思想可能要經過若干次的反復體驗，才能領悟，不是通過一個問題就可達到的。即便是數學家，也是經過很長時間的研究，才能取得可喜的一小步，所以我們要注意進行長期和系統的滲透。

參考文獻

［１］［美］Ｍ．克萊因．古今數學思想．上海：上海科學技術出版社，１９８３．

［３］ 馬卯成．中學數學解題思想．中學數學教學參考．１９９０（１０）．

（責任編輯劉永慶）