我國上證綜指收益概率分布的統(tǒng)計(jì)特性分析

摘 要：本文根據(jù)我國上海證券交易所綜合指數(shù)在過去7年中的高頻數(shù)據(jù)序列，分析在6種時(shí)間標(biāo)度（1分鐘至60分鐘）下收益的概率分布，發(fā)現(xiàn)具有明顯的尖峰和胖尾特征；收益概率分布具有對(duì)稱性，利維穩(wěn)定分布能很好地描繪中間部分的變化規(guī)律，利維指數(shù)為1．26；其漸近行為具有冪律特性，特征指數(shù)為2．86 (1分鐘序列)，超出了利維穩(wěn)定分布的范圍。結(jié)果表明，上證綜指收益概率分布具有明顯的非線性分形特性，這對(duì)分析我國股票市場變化的動(dòng)力學(xué)規(guī)律、風(fēng)險(xiǎn)管理和衍生產(chǎn)品定價(jià)具有指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：經(jīng)濟(jì)物理學(xué)；上海證券市場；概率分布；利維分布

中圖分類號(hào)：F830．91文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1000-176X(2008)09-0085-04

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一、引 言

越來越多的研究表明，金融市場（如證券市場、匯率市場）是復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，人們開始用新的視角來審視金融市場的一些變化特征及規(guī)律，從而在20世紀(jì)80年代初出現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)物理學(xué)（econophysics）這一新的交叉學(xué)科^[1]。它將物理學(xué)的知識(shí)、方法應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，尤其是金融市場，如將物理學(xué)在研究復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)常用的混沌理論和分形幾何學(xué)應(yīng)用于證券市場波動(dòng)特性的研究^[2-5]，將統(tǒng)計(jì)物理學(xué)和相變理論應(yīng)用于證券市場突變（stock market crashes）特征的研究^[6]，將隨機(jī)矩陣?yán)碚摚╮andom matrix theory）應(yīng)用于股票收益的相關(guān)矩陣分析^[7-9]。通過研究，人們發(fā)現(xiàn)股票市場是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，具有分形特性；股票市場收益的概率分布并不完全遵循通常所認(rèn)為的正態(tài)分布，在一定時(shí)間標(biāo)度或稱時(shí)間間隔內(nèi)呈現(xiàn)尖峰瘦態(tài)（leptokrutic）和胖尾（fat-tail）分布，具有冪律（power-law）特征的標(biāo)度行為（scaling behaviour）。例如，通過對(duì)美國標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的分析，發(fā)現(xiàn)收益的概率分布在三個(gè)數(shù)量級(jí)內(nèi)（1分鐘至1 000分鐘）具有標(biāo)度不變性，分布曲線的中間段遵循利維穩(wěn)定分布（利維特性指數(shù)為1．4），兩翼（大于6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差）服從指數(shù)分布^[10]；通過對(duì)美國道#8226;瓊斯工業(yè)平均指數(shù)（DJIA）和挪威奧斯陸（Oslo）證券交易指數(shù)（TOTX）的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)收益概率分布具有明顯的尖峰和胖尾特征，遵循截尾利維分布，后者的利維特性指數(shù)為1．64^[3]；通過對(duì)巴西圣保羅證券交易指數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析，收益的概率分布也呈現(xiàn)尖峰和胖尾，而且其累積概率分布的漸近行為服從指數(shù)分布，Pcum（z）~e-λz（λ≈1．7）^[14]；文獻(xiàn)

詳細(xì)地分析了標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)在過去13年中的1分鐘數(shù)據(jù)序列，發(fā)現(xiàn)收益的累積概率分布呈冪律漸近行為，Pcum（x）~x-α（α≈3），并在四個(gè)數(shù)量級(jí)范圍內(nèi)保持標(biāo)度不變性。這些研究結(jié)果對(duì)分析股票市場波動(dòng)特性、研究股價(jià)變動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律提供了實(shí)證基礎(chǔ)，對(duì)預(yù)測金融風(fēng)險(xiǎn)具有重要的指導(dǎo)意義。

相比之下，由于我國股票市場建立比較遲，其變化的特征和規(guī)律有待逐步研究。一些學(xué)者對(duì)我國股票市場的相關(guān)性問題、有效性問題、標(biāo)度行為和分形特性等進(jìn)行了研究，但對(duì)收益的概率分布還暫無全面、成熟的研究。隨著對(duì)股票市場各種數(shù)據(jù)記錄技術(shù)的提高，獲取各種高頻數(shù)據(jù)已成為可能。我國自1990年和1991年分別在上海和深圳建立證券市場以來，經(jīng)歷了1993年的“T+0”交收制度和1995年的“T+1”交收制度，1996年12月16日起又實(shí)行了10%漲跌停板制度。為了盡量去除這些制度因素對(duì)股票市場的影響，我們選取1998年開始的上海證券交易所綜合指數(shù)（上證綜指）在6種不同時(shí)間標(biāo)度的收盤指數(shù)序列作為研究樣本，借鑒R．N．Mantegna和H．E．Stanley提出的方法^[10]，分析收益序列概率分布的統(tǒng)計(jì)特性，為進(jìn)一步研究我國股票市場變化的動(dòng)力學(xué)規(guī)律和精細(xì)結(jié)構(gòu)提供實(shí)證分析基礎(chǔ)。

二、理論背景

對(duì)于對(duì)稱的利維穩(wěn)定分布（Lévy stable distribution）L（x），其傅立葉變換（Fourier Transforms），即特征函數(shù)（characteristic function）為：

利維穩(wěn)定分布和正態(tài)分布都具有對(duì)稱性，但兩者的主要區(qū)別是前者呈現(xiàn)尖峰瘦態(tài)和胖尾特征。利維穩(wěn)定分布的重要特征之一是自相似性，也就是說，當(dāng)我們將不同時(shí)間標(biāo)度標(biāo)準(zhǔn)化后，不同時(shí)間標(biāo)度的分布曲線將趨于重合。根據(jù)Mantegna和Stanley提出的方法，對(duì)于不同的時(shí)間標(biāo)度Δt，當(dāng)我們按Zs≡ZΔt（Δt）1/α進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化后，（3）式變?yōu)椋?/p>

這表明，不同時(shí)間標(biāo)度的分布標(biāo)準(zhǔn)化后將與Δt=1時(shí)的分布重合。如果實(shí)證中能實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，則說明收益的概率分布遵循利維穩(wěn)定分布。

三、實(shí)證分析

我們將上證綜指在1998年5月4日至2005年6月1日7年間6種時(shí)間標(biāo)度的連續(xù)不重復(fù)的收盤指數(shù)序列作為研究樣本。這6種時(shí)間標(biāo)度依次為1分鐘、5分鐘、10分鐘、20分鐘、40分鐘和60分鐘，其中1分鐘的數(shù)據(jù)量達(dá)40多萬個(gè)。數(shù)據(jù)來源于深圳天軟科技開發(fā)有限公司，所有程序都采用Matlab編寫。

1．收益的概率分布

根據(jù)有效市場假設(shè)（EMH），收益的概率分布服從正態(tài)分布，但實(shí)證研究表明，許多國家或地區(qū)的股票市場的交易指數(shù)的收益時(shí)間序列，無論是差分收益，如挪威奧斯陸股票交易所的OBX指數(shù)、美國標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)^[10]，還是（7）式定義的對(duì)數(shù)差分收益，

收益的概率分布均呈現(xiàn)尖峰瘦態(tài)和胖尾特征。

通過對(duì)我國上海綜指收益的概率分布的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)也存在偏離正態(tài)分布的尖峰瘦態(tài)特征。以上證綜指1分鐘收盤指數(shù)收益序列的概率分布為例，與同方差的正態(tài)分布相比，具有明顯的尖峰瘦態(tài)形狀和胖尾特征（如圖1所示）。由此可以說明，我國上證綜指的收益概率分布也呈現(xiàn)明顯的尖峰瘦態(tài)和胖尾特征，變化規(guī)律遵循非線性動(dòng)力學(xué)過程。可見，無論是成熟的股票市場，還是新興的股票市場，收益的概率分布都具有尖峰瘦態(tài)和胖尾特征，可以說是股票市場的共性。

進(jìn)一步研究，我們發(fā)現(xiàn)在收益概率分布曲線的中間段（如圖2所示），概率與收益呈冪律關(guān)系，P（Z）∝Z-β，特征指數(shù)β為2．86。這一結(jié)果超出了利維穩(wěn)定分布的范圍（0＜β≤2），與美國標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)每分鐘數(shù)據(jù)的研究結(jié)果相近，表明分布的方差或二階矩（the second moment）是有限的。這對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理和衍生產(chǎn)品的定價(jià)是非常重要的。

圖3是上證綜指收益序列在不同時(shí)間標(biāo)度下的累積概率分布曲線，可以發(fā)現(xiàn)它們具有明顯的一致性。其中，時(shí)間標(biāo)度為1分鐘和60分鐘時(shí)的累積概率分布曲線的冪律特征指數(shù)分別為2．31和2．71，同樣超出了利維穩(wěn)定分布的范圍。

圖3反映了不同時(shí)間標(biāo)度累積概率分布曲線之間的一致性。為了進(jìn)一步考察它們之間的關(guān)系，我們描繪了不同時(shí)間標(biāo)度收益的概率分布的半對(duì)數(shù)曲線（如圖4所示）。我們發(fā)現(xiàn)，分布幾乎是對(duì)稱的，且隨著時(shí)間標(biāo)度的增大，分布逐漸擴(kuò)散。

3．利維指數(shù)α值的計(jì)算

為了確定利維指數(shù)α的大小，我們采用Mantegna和Stanley提出的方法進(jìn)行計(jì)算。

首先，計(jì)算收益Z（Δt）=0時(shí)的概率P［Z（Δt）=0]，如表1所示。

其次，用最小二乘法擬合lgP［Z（Δt）=0］隨lg（Δt）變化的曲線，發(fā)現(xiàn)擬合曲線為直線，表明P（Z=0）與Δt之間具有明顯的冪律關(guān)系，P∝（Δt）-α。 

最后，計(jì)算直線的斜率。上述擬合直線的斜率為λ-0．794±0．024，不同于正態(tài)分布時(shí)的斜率-0．5。美國SP500指數(shù)的擬合直線的斜率為-0．712±0．025^[10]，與上證綜指的結(jié)果很接近。

根據(jù)λ和α的關(guān)系α=-1/λ^[10]，我們得知，上證綜指收益概率分布的利維指數(shù)為α=1．26，小于2，說明不具有正態(tài)分布的特性。

4．標(biāo)準(zhǔn)化后的概率分布曲線

當(dāng)將收益值標(biāo)準(zhǔn)化后，概率分布曲線如圖5所示，6條曲線幾乎重疊在一起，尤其是在中間區(qū)域。由此，我們可以得出結(jié)論，利維穩(wěn)定分布能較好地描繪收益概率分布的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。

圖6是時(shí)間標(biāo)度為1分鐘時(shí)，上證綜指收益概率分布實(shí)證曲線與利維穩(wěn)定分布和正態(tài)分布的比較。可以明顯發(fā)現(xiàn)，利維穩(wěn)定分布很好地描繪了收益概率分布的中間部分。但在兩翼其下降速度比利維穩(wěn)定分布快，比正態(tài)分布慢。這說明大波動(dòng)事件出現(xiàn)的概率比正態(tài)分布預(yù)測的多得多。

四、簡單結(jié)論

由于股票市場的收益直接與投資者的利益有關(guān)，因此對(duì)股票市場收益分布特性的研究具有重要意義。高頻數(shù)據(jù)更能反映股票市場動(dòng)態(tài)演變的微觀機(jī)理和精細(xì)結(jié)構(gòu)。雖然我國股票市場詳細(xì)記錄高頻數(shù)據(jù)的時(shí)間還比較短，但通過本文對(duì)我國上證綜指高頻數(shù)據(jù)的初步實(shí)證分析，我們可以得出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

第一，收益概率分布不服從正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)尖峰胖尾分布。因此，基于正態(tài)分布理論對(duì)股票市場收益概率分布的預(yù)測是不準(zhǔn)確的，更為重要的是，這將動(dòng)搖金融市場理論的基礎(chǔ)。

第二，利維穩(wěn)定分布能較好地描繪股票市場收益概率分布的中間區(qū)域，而其漸近行為則遵循冪律分布。這表明我國上證綜指收益的概率分布與國外股票市場收益的概率分布具有相似的特性，都可以用利維穩(wěn)定分布和冪律分布的組合來描述，而且特征指數(shù)非常接近。

第三，標(biāo)度不變性與長程冪律相關(guān)是一致的，是分形市場的重要特征之一。為此，人們提出了分形市場理論，以表示對(duì)有效市場理論的置疑。這對(duì)股票市場的風(fēng)險(xiǎn)管理和風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測具有重要的指導(dǎo)意義。

第四，不同國家、不同地區(qū)的股票市場具有的這些共性表明股票市場存在某種相似的內(nèi)部結(jié)構(gòu)或變化機(jī)理，就像不同類型的系統(tǒng)在臨界狀態(tài)時(shí)表現(xiàn)出來的共性和具有普適的特征指數(shù)一樣，人們通過對(duì)大量臨界實(shí)驗(yàn)事實(shí)的研究，提出了重整化群理論，為解釋實(shí)驗(yàn)事實(shí)提供了理論支撐。相信隨著對(duì)股票市場的深入研究，人們必將找到能解釋變化規(guī)律的理論基礎(chǔ)。

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（責(zé)任編輯：韓淑麗）

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”