巧用倒數轉化法解答分數應用題

某些較復雜的分數應用題，一般思路就是先要轉化分率，然后才能解答。若采用倒數轉化法來解答，既能巧妙地統一單位“1”，又可減少分率轉化的繁瑣計算，往往能出奇制勝，使思路清晰，解法簡捷。現舉幾例如下：

例1 某電器廠男工占總人數的2/3，后來又招進20名女工，這時男工占總人數的6/11。這個廠原來有男、女工各多少名?

分析與解答：用一般方法的解題思路是，因為這個廠總人數前后有所變化，題中兩個分率所涉及的單位“1”不統一，而男工人數前后沒有變化，所以把男工人數看作單位“1”，再把前后兩次的女工人數轉化成占男工的分率，然后再求解。如果采用倒數法，立即可統一單位“1”，即原來工廠總人數占男工人數的5/3，后來工廠總人數占男工人數的11/6。則：

男工人數：20÷(11/6-5/3)=20÷1/6=120(名)

女工人數：120×5/3-120=80(名)

例2 電視機廠生產一批電視機，原計劃30天完成，實際每天比原計劃多生產1/4，實際多少天完成?

分析與解答：這道題中的“30天”是原計劃的工作時間，“1/4”所對應的單位“1”是原計劃的工作效率，已知數量和已知分率不相對應，這就需要將某個條件進行轉化。設這批電視機的臺數為“1”，我們可以將“原計劃30天完成”轉化為“原計劃每天完成這批電視機的1/30(即30的倒數，也就是工作效率)”。由題目條件可求出實際每天可以完成這批電視機的“1/30×(1+1/4)”，根據“工作量÷工作效率=工作時間”，可求出實際工作的天數：

1÷[1/30×(1+1/4)]=24(天)。

例3 某人騎自行車往返甲、乙兩地，返回時逆風，返回時的速度是去時的5/6，因此返回所花的時間比去時多24分鐘。去時花了多少分鐘?

分析與解答：這題的已知條件是往、返速度間的分率和往、返相差的時間，已知數量與已知分率不相對應。設甲、乙兩地間的路程為“1”，當去時所花的時間為“1”時，去時的速度也應為“1”；返回時的速度是去時的5/6，返回所花的時間應是去時的“1÷5/6”(即5/6的倒數)。于是24分鐘就相當于去時的“1÷5/6-1”，這樣可求得去時花了：

24÷(1÷5/6-1)=120(分鐘)。

例4 甲、乙兩人從東村步行到西村，甲每小時行3.5千米，乙每小時行3.75千米，已知甲早出發1/4小時而又比乙晚到1/12小時。兩村相距多少千米?

分析與解答：將“甲每小時行3.5千米”轉化為“甲每行1千米路要1/3.5小時”(即3.5的倒數)，將“乙每小時行3.75千米”轉化為“乙每行1千米路要1/3.75小時”(即3.75的倒數)，由此要知每行1千米甲比乙多花“1/3.5-

1/3.75”小時。已知行完全程甲比乙共多花“1/4+1/12”小時，根據包含除法的意義，可以求出兩村之間的路程：

(1/4+1/12)÷(1/3.5-1/3.75)=17.5(千米)。

倒數轉化法是一種特殊的思考方法，也是一種重要的數學解題策略。在教學中若能引導學生靈活地掌握并加以運用，不僅能將一些較復雜的數學問題較容易地解答出來，達到變繁為簡、化難為易的目的，而且還能激活學生的思維空間，拓展學生解答較復雜分數應用題的能力。