在數學學科訓練體系中提高教師的能力與素質

一、試題的評價與分析

例1：（哈爾濱市香坊區期末測試第28題）在平面直角坐標系中，Rt△AOB的位置（如圖1），∠ABO=90°，∠OAB=30°，點A坐標為（1，），點P為x軸上一個動點，點P不與點O重合，連接AP.

（1）當點P運動到什么位置時，△OAP為等腰三角形，求點P的坐標.

（2）求（1）中直線AP的解析式.

（3）在（2）中直線從AP上是否存在點Q，過點Q作QR垂直于x軸，垂足為R，使△PQR與△AOB全等，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

評價與分析：本題具有綜合性和探究性.這道題包含了直角三角形、等腰三角形、全等三角形、一次函數等相關知識，是一道綜合性極強的題.本題把動點與多解問題巧妙結合，不僅考查知識點全面，而且極有利于學生思維的發展，開拓視野，讓學生在探究的過程中，逐步完善解題步驟，逐漸形成多維、全面分析問題，解決問題的能力.此題解法多樣，并對今后的學習內容設下伏筆，在學習圓之后，學生就會對此類多解問題理解得更透徹.

例2：（哈爾濱市道外區期末測試第10題）已知M(4，3)，N(1，-2)，P在y軸上且PM+PN最短，則點P的坐標是（）.

評價與分析：此題具有基礎性和知識性，包含的知識點全面，是軸對稱知識的綜合考查，考查了最短距離的問題，和一次函數問題相結合，并且在講解過程中做過此類軸對稱專題.此類問題和物理學中的鏡面反射有很多聯系，學好此類問題特別重要.

例3：（哈爾濱市香坊區期末測試第9題）一名考生步行前往考場，10分鐘走了總路程的，估計步行不能準時到達，于是他改乘出租車前往考場.他的行程與時間關系（如圖2）（假定總路程為1），則他到達考場所花的時間比步行提前了（ ）.

A.20分鐘B.22分鐘

C.24分鐘D.26分鐘

評價與分析：此題是一道基礎性較強的生活實踐性題目.從生活實際入手，考查了一次函數的知識，學生必須擅長觀察圖像中的各個數量及位置關系，才能得出正確結論.此題也有多種解法，也可以用算術算法，解題較快.此題也是一道易錯題，在路程為1時的時間容易算錯.

例4：（哈爾濱市道里區期末測試第27題）已知：（如圖3）一副直角三角板如圖放置，等腰直角三角板固定不動，另一塊的直角頂點放在等腰直角三角板的斜邊中點D處，兩直角邊與AB，CB的交點為GH.

（1）當三角板DEF如圖①放置時，你能發現線段DG和DH的大小有何關系？

（2）如圖②，設點G到AC的距離為h1，點H到AC的距離h2，線段AC的長為p，則h1、h2與p三者有什么數量關系？證明你的結論.

評價與分析：此題具有綜合性和探究性.此題以一副三角板作為背景材料，這也是近年來中考的熱點試題.根據現在所學的知識編制，考查了全等三角形的判定和等腰三角形的一系列知識，并且對同角的余角相等的基本圖形鞏固練習，使學生記憶深刻.通過三角板繞斜邊中點D旋轉的過程中△GMD與△DNH始終全等，并且AM=GM，NH=NC，讓學生從中探究理解，使他們對三角形全等、等腰直角三角形、同角的余角相等掌握得更靈活，能夠運用自如.

二、試題的研究與創編

創編題目一：

（一）創編過程

1.創編的背景和載體

原題：（1）人教版義務教育課程標準實驗教科書《數學》七年級上冊156頁16題：在四邊形ABCD內部找出一點O，使得點O到四邊形4個頂點的距離和最小，并請說明理由.

知識內容是兩點之間線段最短.

（2）人教版義務教育課程標準實驗教科書《數學》八年級上冊第33頁例6：A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現要把這些肥料全部運往C、D兩鄉.從A城往C、D兩鄉運肥料的費用分別為每噸20元和25元；從B城往C、D兩鄉運肥料的費用分別為每噸15元和24元.現C鄉需要肥料240噸，D鄉需要肥料260噸，怎樣調運總運費最少？

知識內容是利用一次函數與方程解決實際問題.

2.知識的鏈接、延伸及擴展

以“兩點之間線段最短”為橋梁，將一次函數和“調運”問題鏈接起來，使知識得到延伸及擴展.

3.條件和方法的演變和強化

將原題的條件放在直角坐標系中，使得求四邊形內部到四邊形各頂點距離及最小的點的位置，變為了求坐標的問題，并與調運問題巧妙結合.

（二）創編題目的特點

1.考查內容的全面性.創編題目中涉及到的知識包括七年級的“線段最短”知識、方程知識、八年級的一次函數知識以及“調運”知識.知識點全面.

2.解題思路的清晰性.創編題目雖然涉及到的知識點較多，但在解題過程中，知識點的內在聯系緊密，使得解題過程更有條理.

（三）創編題目及答案

已知：A、B、C、D為4個村莊，在坐標系xoy中的坐標（如圖4），若村莊D到x軸與y軸的距離分別為3公里和6公里（其他坐標含義相同）.若M為到4個村莊距離和最小的一個診所，其中有甲、乙兩種藥品分別是5700盒與4300盒.若從診所M到A、B、C、D四個村莊運甲藥品的運費每盒每千米分別為0.1元、0.2元、0.4元、0.3元；運乙藥品的運費分別為0.15元、0.35元、0.5元、0.25元，各村所需藥品數量如表1：

設由M運往B村的甲種藥品為x盒，由M到A、B、C、D四村的總運費為y.① 寫出y與x的函數關系式；② 當x為何值時，總運費最少？

創編題目二：

（一）創編過程

1.創編的背景和載體

原題是2007年四川省眉山市中考數學試題第18題：（如圖5）已知等腰直角△ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為20厘米，AC與MN在同一直線上，開始時點A與點N重合．讓△ABC以每秒2厘米的速度向左運動，最終點A與點M重合，則重疊部分面積y（厘米2）與時間t（秒）之間的函數關系式為．

知識內容是等腰直角三角形的面積和正方形的性質以及函數關系.

2.知識的鏈接、延伸及擴展

創編意圖：在考查知識點不變的情況下，加入分段函數的知識點，使知識得到延伸及擴展，并使題目更加具有綜合性.

3.條件和方法的演變及強化

同樣是求陰影部分的面積，但改變了運動的方式，使得求解的方法也發生了改變.同時運動方向的改變以及三角形的腰長和正方形邊長的特殊設計，也使得解題過程發生了微妙的變化.

（二）創編題目的特點

1.知識的綜合性.本題將初中階段平面幾何中兩種重要的圖形的知識與函數知識鏈接到一起，通過運動變化的形式編制題目，實現了代數、幾何知識的統一.

2.解法的多樣性.在第（2）問中，即可通過自變量的變化來判斷線段長度，也可應用三角形全等或者三角形相似的知識直接求出面積，解題方法多樣.

（三）創編題目及答案

（1）正方形MNPQ以2cm/s的速度由C點運動到B點.試求出圖①中陰影部分的面積y與運動時間x之間的函數關系.

（2）在（1）中，正方形MNPQ運動到B點后開始向左平移，重新開始計時，正方形平移的時間為t秒，當兩個圖形不再有重疊時運動停止（如圖6-②），設兩圖形重疊部分的面積為s.試求s與t的函數關系.

解：（1）∵四邊形MNPQ是正方形，△ABC是等腰直角三角形，∴∠NQP=45°，∠B=45°.

創編題目三：

（一）創編過程

1.創編的背景和載體

原題是人教版義務教育課程標準實驗教科書《數學》八年級上冊137頁第9題：（如圖7）A為馬廄，B為帳篷.牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷.請你幫助他確定這一天的最短路線.

知識內容是軸對稱的性質及“線段最短”.

2.知識的鏈接、延伸及擴展

在知識點“軸對稱的性質”及“線段最短”保持不變的情況下，使其與直角坐標系鏈接起來，使知識得到延伸及擴展.

3.條件和方法的演變及強化

將“軸對稱的性質”及“線段最短”與直角坐標系鏈接起來，知識得到綜合考查，學生的綜合能力得到鍛煉.

（二）創編題目的特點

知識的綜合性.軸對稱的知識，是初中學習的重點，也是常考的一個考點.聯系到兩點之間線段最短，又鞏固一次函數解析式以及求點的坐標.本題是平面幾何與函數的綜合應用，訓練學生的綜合能力及畫圖能力.

（三）創編題目及答案

創編題目：在平面直角坐標系中，有A（2，4），

B（4，2）兩點.分別在x軸和y軸上各找到一點，使其與已知兩點構成的四邊形的周長最短.畫出圖形，并求出所求兩點的坐標.

答案：

解：分別作A、B關于x、y軸的對稱點A1、B1，A1B1分別交y軸、x軸于點C、D（如圖8）.

則A1（-2，4），B1（4，-2），直線A1B1的解析式為y=-x+2，則C（0，2），

D（2，0）.

三、試題的反思與矯正

統考中得分率最低的5道試題.

1.第9題.通過率：0.72，錯誤原因：識圖能力較差.

原題：直線l1：y=k1x+b與直線l2：y=k2x在同一平面直角坐標系中的圖像（如圖9），則關于x的不等式k1x+b＞k2x的解集為（ ）.

A. x＞-1 B. x＜-1

C. x＜-2 D. x＞-2

變式訓練：

直線l1：y=k1x+b與直線l2：y=k2x在同一平面直角坐標系中的圖像（如圖9），則關于x的不等式k1x+b＜k2x的解集為（ ）.

A.x＞-1 B.x＜-1 C.x＜-2 D.x＞-2

深化訓練：

一次函數y1=kx+b與直線y2=x+a的圖像（如圖10），則下列結論k＜0，a＞0，當x＜3時，y1＜y2中正確的個數是（ ）.

A.0個B.1個

C.2個D.3個

2.第21題.通過率：0.73，錯誤原因：不認真讀題，圖像畫反.

原題：已知A、B兩地相距4千米，上午8∶00甲從A地出發步行去B地，8∶20乙從B地出發騎自行車去A地.甲乙兩人離A地的距離（千米）與所用時間（分）之間的關系（圖11），由圖中的信息解答下列問題：

（1）甲乙兩人在途中是否相遇過？若相遇，相遇在什么位置？

（2）乙到達A地是什么時間？

（3）若乙也在上午8∶00從A地出發去B地，在圖中畫出此時乙的圖像.

變式訓練：

已知A、B兩地相距4千米，上午8∶00甲從A地出發步行去B地；8∶20乙從B地出發騎自行車去A地.甲乙兩人離A地的距離（千米）與所用時間（分）之間的關系（如圖11），由圖中的信息解答下列問題：

（1）甲乙兩人在途中是否相遇過？若相遇，在什么位置？

（2）乙到達A地是什么時間？

（3）若乙也在上午8∶00從B地出發去A地，在圖中畫出此時乙的圖像.

深化式訓練：

兩組同學進行登山比賽，兩組同學從山腳出發沿同一路線到達山頂的過程中，路程隨時間變化關系（如圖12）：

（1）寫出甲、乙登山過程中路程S與時間t的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；

（2）如果甲組到達山頂時，乙組同學繼續登山，甲組在山頂休息半小時后沿原路下山，在距山頂0.5千米B處與乙組相遇，若相遇后各自按原速前進，那么乙組同學到達山頂時，甲組距離山腳的距離是多少千米？

3.第27題通過率：0.62，錯誤原因：最后一問有些學生沒有思路.

原題：用兩個全等的等邊三角形拼成一個四邊形，把一個含有60°角的透明三角板與這個四邊形重疊，使三角板的60°角的頂點與點A重合.

（1）（如圖13-①）當三角板的兩邊分別與BC、CD相交于E、F時，猜想線段BE與CF有什么數量關系？并證明你的猜想；

（2）（如圖13-②）當三角板的兩邊分別與BC的延長線、CD的延長線相交于E、F時，（1）中的結論還成立嗎？

（3）若將兩個全等的等邊三角形換成兩個全等的等腰直角三角形，斜邊重合拼成正方形ABCD，再把三角板換成含有45°角的三角板（如圖13-③）.（1）中的結論還成立嗎？若成立，證明你的結論；若不成立，要想使這個結論成立，應將圖③中的△ABC和△ADC變成什么形狀的三角形？

變式訓練：

把兩個等邊三角形改為頂角為30°的兩個等腰三角形，使三角板的60°角改為是三角板的30°角.

強化訓練：

一變：（如圖14）△ABD、△AEC都是等邊三角形，且BE與CD相交于點P.

（1）若讓△ABD、△AEC 繞公共點A旋轉，在此過程中DC、BE是否依然相等，直接回答問題；

（2）若使B、A、C在一條直線上，設BE、AD相交于點M，CD與AE相交于N，△AMN是等邊三角形嗎？

二變：（如圖15）△ABC是等腰三角形，CA=CB，四邊形CDEF是正方形，連接AF、BD.

（1）觀察圖形，猜想AF與BD有怎樣的關系，并證明；

（2）若正方形CDEF繞A點按順時針方向旋轉，使正方形CDEF的一邊落在△ABC的內部，請畫出變形后的圖形，此時（1）中猜想是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由.

三變：猜想二變中和正方形CDEF還可以換成什么圖形？寫出你的猜想并畫出圖形，證明你的猜想.