一堂展示課的思考和改進

前不久，我與幾位骨干老師一起參與了一節初中數學展示課的試講、討論和展示的過程.在試講后大家討論并提出了一些思考，開課教師根據思考做出了改進.教材和內容：北師大版義務教育課程標準實驗教科書《數學》九年級下冊第二章二次函數“結識拋物線”.

一、試講過程及討論思考

1.引入

拱形橋——工程師要設計建造一座拱橋，他們首先必須對地形和地質等因素進行綜合考慮，再在圖紙上按一定的比例畫出設計圖（如圖）.其中一條粗體的曲線是拱橋的重要設計部分，它不但美觀大方，而且是力學承重中的最佳設計.著名的趙州橋之所以能保存至今，也是由于這個重要部分設計.那么，設計師又是怎樣設計出來的呢？若將其放在直角坐標系中，它可以用什么函數來刻畫呢？

【思考：讓學生直觀感受拋物線的大概形狀，讓學生體會到需要研究這類曲線問題，也為后面探索二次函數圖像中如何連線做了鋪墊，但是與二次函數的圖像連結不夠自然.】

2.探索二次函數y=-x2的圖像

【思考：為何要先研究y=-x2的圖像？學生可能會感覺比較突然.】

師：作函數圖像的一般步驟是怎么樣的？

生：列表、描點、作圖.

【思考：學生在以前已經學過畫一次函數、反比例函數的圖像，因此可以通過復習引導，讓學生先回顧探究函數圖像的過程和方法，然后可以類比此過程和方法探究y=-x2的圖像.】

師：先列出下表，然后再描點、連線，在連線時要求光滑地連結.（圖略.）

x …-3-2 -1 012 3 …

y …-9-4 -1 0-1-4 -9 …

【思考：為何要這樣取x？其實這也是探究畫圖的重要一步.】

師：這樣得到了y=-x2的圖像，我們把具有這樣形狀的曲線叫拋物線.

【思考：為何要以這種方式去連結？還有為何稱它為拋物線？整個探究圖像的過程和方法，可以讓學生通過類比來得到y=-x2的圖像.】

3.探索與發現（小組合作）

（1）你能描述圖像的形狀嗎？

（2）圖像是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？請仍然找出幾對對稱點.

（3）圖像與x軸有交點嗎？如果有，交點坐標是什么？

（4）當x<0時，隨著x的增大，y的值如何變化？當x>0呢？

（5）當x取什么值時，y的值最大？最大值是什么？你是如何知道的？

（6）開口方向？

師：你是怎么得到x=0時y的值最大？

生：我是從圖像觀察得到的.

師：上述特征我們可以通過看函數表達式來得到.

【思考：作出函數圖像的目的是為了利用圖像直觀地探索發現函數的性質，而教師在此過程中更多地是借助多媒體的演示和函數代數式來證明或說明，這也不利于數形結合的滲透.另一方面，函數的性質需要學生去探索和發現，教師的6個問題已經將所要探索的性質細化地給出，學生只要按照問題的細化要求去找到即可，也不需要合作學習.其實由圖像得到性質的方法在一次函數和反比例函數中都已經歷過，可以引導學生運用類比思想采用同樣的方法去探究和發現.】

師：二次函數y=x2的圖像是什么形狀？

【思考：從函數y=-x2的圖像入手，再研究y=x2的圖像，是因為前者的圖像更接近生活中的諸多拋物線，學生更容易理解它的概念.通過一組變式訓練，讓學生理解函數圖像與關系式的聯系.】

（學生列表、描點、連線畫出圖像.）

x…-3-2 -10123…

y=x2… …

1.形狀：.

2.開口方向: .

3.頂點坐標：.

4.稱軸: .

5.最大（小）值: .

6.增減性：

當x＜0時，；

當x＞0時，.

師：請將函數y=x2圖像的特征填入上述表格.（學生一一填入.）

師：y=x2的圖像與二次函數y=-x2的圖像又有什么關系？

生：關于x軸對稱.

【思考：與前面類似，這樣的填空引導過于到位，由于y=x2的圖像特征與y=-x2的圖像特征非常相似，故可以由學生類比得到，更應該將兩者特征列成表格有利于學生的比較，另外比較應該是多層次的.】

4.運用

（1）已知該圖像上有兩點（-3，y1），（-2，y2），則y1，y2的大小關系是 .

（2）已知該圖像上有三點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）且x1＞x2＞x3＞0，則y1，y2，y3的大小關系是 .

（3）正方形的邊長為x，面積為y，試寫出y關于x的函數關系式以及自變量的范圍，并作出其圖像.

（4）已知點A(1，a)在拋物線y=x2上，O為坐標原點.求A點的坐標；在拋物線上是否存在點P，使得△OAP是等腰三角形，且OA=OP？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

【思考：上述問題是有關函數性質中的增減性順用和逆用，一方面是性質的運用，另一方面通過圖像的反復運用能夠突出數形結合.但直接要求解決這些問題，難度相對較大.】

5.小結

作為二次函數圖像及特征的第一堂課，它應該有許多的知識結構、方法、思想上的價值，在小結回顧中應該得到體現.

二、展示課的過程和點評

1.引入

情境問題（同上）展示.

師：情境問題中的粗體曲線是否對應一個函數解析式？前面我們學了二次函數的概念和表達式，按照學習一次函數和反比例函數的過程，接下來要學如何去研究？為什么？

生：應該是二次函數的圖像，因為學了一次函數和反比例函數概念后，作出它們的圖像，然后可以通過觀察圖像得到對應函數的性質，再可以運用性質解決更多問題.

師：對，函數與圖像是數與形的關系，它們可以通過相互轉換達到互助，那么它們是通過什么來轉換的呢？

生：通過直角坐標系.

師：對，那么今天我們就開始探究二次函數的圖像.

【點評：通過有關一次函數和反比例函數問題引導，教師激活了學生原有認知中研究函數的過程與方法，即先有概念，然后是探究圖像，再通過觀察圖像的特征得到函數的性質，最后運用解決問題；有了這樣的前提，學生自然地類比探究一次函數和反比例函數的方法，想到需要探究二次函數的圖像和特征，同時在此過程和方法中也作好了數形結合的鋪墊.】

師：一般二次函數表達式為y2=ax2+bx+c，要探究這樣的圖像比較困難，怎么辦？你能否類比探究一次函數圖像的過程？

生：類比研究y=ax+b的圖像，先研究y=kx，最先研究y=x和y=-x，那么自然想到要先去研究y=ax2的圖像，而研究它們則可以先研究y=-x2、y=x2的圖像.

【點評：教師恰當的問題引導，解決了為何要在這節課研究y=-x 、y=x 的圖像問題，在此過程中滲透研究函數的從特殊到一般的方法，也將前后的課堂教學內容（從y=±x2到y=ax2再到y2=ax2+bx+c）相串聯.】

2.探究作圖，得到拋物線

師：y=-x2的圖像是怎么樣的？（列表、描點、作圖.）

師：你是怎么想到的？

生：y=-x2的圖像我們還不知道，應該與一次函數、反比例函數圖像開始的畫法一樣的.

師：對，對于未知函數圖像，我們通過取值、列表、描點、連線來得到.（學生同桌合作探究畫圖，教師巡視并找出學生典型畫圖.）

師：你是如何列表的？

生：為了比較全面地代表所有點，應該要取正、零、負.

x …-3-2 -101 23…

y …-9-4 -10-1 -4 -9…

師：這樣連線正確嗎？（教師展示一位學生的線段連線方式.）

生：不對，應該要求光滑地連結.

師：（教師邊展示后一位學生的畫圖）你為何這樣連線？能說明理由嗎？

生：開始時我也不很確定，后來我取了相鄰兩點的中間點得到不是線段連結的.

師：你們能否評價一下這幅作品.（展示另一學生的作圖.）

生：挺光滑，但兩端不出頭是不正確的.

師：為什么？

生：由于x的取值兩端是無限的.

師：這曲線像什么形狀？

（多媒體演示：它像一個物體拋出后運行的軌跡，再演示投籃球的弧線，形如拋射時物體經過的路線，稱它為拋物線.）

【點評：引導學生復習舊知，從方法上激活原有認知結構，勾畫出探究函數圖像的方法.從而自然引導學生通過同桌合作探究y=-x2的圖像.通過對學生典型練習的評價，讓學生理解畫圖中取值描點的代表性和表格中x取值的無限性.最后在教師的問題引導和多媒體輔助下學生能自然得出拋物線的名稱.】

3.觀察圖像，發現特征，結識拋物線

師：拋物線有哪些特征呢？坐標系中的拋物線特征如何去刻劃呢？

師：一次函數和反比例函數圖像的特征有哪些方面？那么如何去探究拋物線呢？

生：它是軸對稱圖形，在坐標系下的上述圖形中，就是關于y軸對稱.

師：對，找到了圖像的對稱軸.

生：x軸下方都在第三、四象限內，頂點除外.

師：對，這就是圖像的位置.

生：x＜0（對稱軸左側），y隨x增大而增大；x＞0（對稱軸右側），y隨x增大而減小.

師：這是圖像的增減性.還有其他的特征呢？拋物線還有哪些要素？

生：噢，頂點和開口方向.

生：頂點在原點，開口方向向下，而且兩端無限伸展.（教師板書，將特征一一列出，如圖表格.）

y=-x2

頂點

對稱軸

位置

開口方向

增減性

最值

【點評：學生通過觀察圖像探究發現拋物線特征的過程也是學生結識拋物線的過程，由于拋物線的特征有較多的內容，所以教師安排了合作學習，也通過類比和拋物線的要素等方面給予了適當的引導，使學生的探究更能有針對性.將學生的探究結果板書成表格，一方面讓對應拋物線特征一目了然，另一方面又為后面y=x2的圖像特征得到及它們的特征比較做好了鋪墊.】

師：如何畫y=x2的圖像？它的圖像與y=-x2的圖像有何異同呢？比較其中數據，可以發現什么？說一說二次函數y=x 的圖像有何性質.

x …-3 -2 -1 0 1 23 …

y=-x2… …

y=x2 … …

（學生類比，根據觀察圖像方法得出y=x 的性質，然后一一填入表格.）

y=-x2y=x2

頂點

對稱軸

位置

開口方向

增減性

最值

師：比較它們的不同特征.

生：它們軸對稱，也是中心對稱.

師：根據它們開口方向和位置的不同，你可以猜測一般的y=ax2嗎？你是怎么得到的？

生：a＞0時開口向上，圖像都在x軸的上方（除原點），a＜0時開口向上，圖像都在x軸的上方（除原點）.從圖中可以想象，通過函數表達式也可以得到y的正負情況.

【點評：通過兩個圖像的特征比較，有利于學生將圖像特征與函數表達式相聯系，后面的問題自然引導學生將方法拓展，為后面的 圖像特征學習作好準備，同時也通過觀察圖像和從函數表達式中看出特征兩種方法滲透數形結合的理念.】

4.運用

（1）對于y=x2，無論x取何值時，y 0， 對于y=-x2，無論x取何值時，y 0.①已知點A（1.5，a）在于y=x2的圖像上，則a= ；若過A作y軸的垂線，交圖像于另一點B，則點A與點B的關系是，AB的長度是 .②對于拋物線y=-x2一點A（2，），它關于y軸的對稱點B（，）（在或不在）拋物線上.

【點評：通過問題（1），引導學生從數式和圖形兩種途徑去鞏固y=x2和y=-x2對應拋物線的正負、對稱等特征，并學會初步運用.】

（2）對于y=x2，已知它的圖像上有兩點（x1，y1），（x2，y2）且x1＞x2＞0，則y1，y2的大小關系是______.

生：y1＞y2.

師：你是怎么得到的？

生：我是利用圖像得到的.

師：如果去掉大于0的條件呢？

生：借助圖像，應該要討論的，分都正、都負、一正一負的3種情況討論，其中一正一負好像比較困難的.

生2：不需要討論的，根據圖像關于y軸的對稱性，只要比較橫坐標離開零點的距離，距離越大則函數值越大，也就是比較|x1|與|x2|的大小，哪個大對應函數值也大.

師：很好，你是如何得出這樣的比較辦法的？

生2：我是利用了圖像和上面的對稱性特征.

【點評：問題（2）是圖像增減特征的運用，通過教師的兩次追問，引導學生從分類討論到運用數形結合和函數圖像特征，避免了分類和簡化過程，既熟練了特征的運用，又滲透了數學思想的運用.】

5.小結

師：在本節課中，我們學到了哪些知識？

生1：y=-x2、y=x2的圖像和它們的特征，也就是認識了拋物線，還有這些特征的運用.

師：我們是如何探究得到這些知識的？

生2：我覺得一是類比已學的方法，拋物線圖像的得到和特征的發現都是類比一次函數的方法，二是數與形的結合，通過數的運算才能畫出圖（比如連線不確定時則再通過取中間橫坐標計算對應縱坐標得出），通過圖形發現特征再用數可以證明，解決問題時可以從數和形兩種途徑去思考.

師：本節課的學習內容與前后有什么關系？

生3：這是一次函數后的又一類特殊函數，在二次函數中這是最基本的，有了它的圖像和特征以及探究得到的方法，我們可以學習更多更一般的二次函數.

【點評：在上述回顧中，除知識的小結，又將新學內容納入了函數結構線索中，也為后面的逐漸一般化的二次函數學習及至其他特殊函數學習作好了充分準備，還能引導學生重視學習研究函數內容的方法線索，更能突出數形結合、類比等數學思想.】

（作者單位：浙江省海鹽縣教研室）